Номер 22, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Некоторая точка $A$ у подножия горы Чингизтау в Казахстане (рисунок 33) расположена так, что $\angle BAO = 25^{\circ}$, где $B$ – вершина горы, $O$ – основание ее высоты. Точка $C$ расположена так, что $\angle BCO = 19^{\circ}$, причем $AC = 987$ м и точки $O, A$ и $C$ лежат на одной прямой. Какова высота этой горы? Ответ запишите с точностью до 1 м.

Рисунок 33

Дано:

$ \angle BAO = 25^\circ $

$ \angle BCO = 19^\circ $

$ AC = 987 \text{ м} $

Перевод в систему СИ:

Все величины уже приведены в систему СИ.

Найти:

$ BO $ – высота горы.

Решение:

Пусть $ BO $ – высота горы, которую обозначим как $ h $. Точка $ O $ – основание высоты, поэтому треугольники $ \triangle BOC $ и $ \triangle BOA $ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $ O $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle BOC $:

Тангенс угла $ \angle BCO $ определяется как отношение противолежащего катета $ BO $ к прилежащему катету $ OC $:

$ \tan(\angle BCO) = \frac{BO}{OC} $

$ \tan(19^\circ) = \frac{h}{OC} $

Выразим $ OC $:

$ OC = \frac{h}{\tan(19^\circ)} \quad (1) $

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle BOA $:

Тангенс угла $ \angle BAO $ определяется как отношение противолежащего катета $ BO $ к прилежащему катету $ OA $:

$ \tan(\angle BAO) = \frac{BO}{OA} $

$ \tan(25^\circ) = \frac{h}{OA} $

Выразим $ OA $:

$ OA = \frac{h}{\tan(25^\circ)} \quad (2) $

По условию задачи, точки $ O $, $ A $, $ C $ лежат на одной прямой, и точка $ A $ находится между $ O $ и $ C $. Следовательно, отрезок $ OC $ равен сумме отрезков $ OA $ и $ AC $:

$ OC = OA + AC $

Подставим выражения для $ OC $ из уравнения $ (1) $ и для $ OA $ из уравнения $ (2) $ в это равенство:

$ \frac{h}{\tan(19^\circ)} = \frac{h}{\tan(25^\circ)} + AC $

Перенесем слагаемое, содержащее $ h $, в левую часть уравнения:

$ \frac{h}{\tan(19^\circ)} - \frac{h}{\tan(25^\circ)} = AC $

Вынесем $ h $ за скобки:

$ h \left( \frac{1}{\tan(19^\circ)} - \frac{1}{\tan(25^\circ)} \right) = AC $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ h \left( \frac{\tan(25^\circ) - \tan(19^\circ)}{\tan(19^\circ) \cdot \tan(25^\circ)} \right) = AC $

Выразим $ h $ из полученного уравнения:

$ h = \frac{AC \cdot \tan(19^\circ) \cdot \tan(25^\circ)}{\tan(25^\circ) - \tan(19^\circ)} $

Теперь подставим числовые значения:

$ AC = 987 \text{ м} $

Значения тангенсов:

$ \tan(19^\circ) \approx 0.3443275 $

$ \tan(25^\circ) \approx 0.4663077 $

Выполним вычисления:

$ h = \frac{987 \cdot 0.3443275 \cdot 0.4663077}{0.4663077 - 0.3443275} $

$ h = \frac{987 \cdot 0.16049202}{0.1219802} $

$ h = \frac{158.465103}{0.1219802} $

$ h \approx 1299.1009 \text{ м} $

Округлим полученное значение до целого метра, как того требует условие задачи:

$ h \approx 1299 \text{ м} $

Ответ: 1299 м