Номер 19, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 4 см. Найдите другую высоту и площадь треугольника, если один из его углов равен 120°.

Дано:

Треугольник ABC - равнобедренный.

Высота, проведенная к основанию, $h_b = 4$ см.

Один из углов треугольника равен $120^\circ$.

Перевод в СИ:

$h_b = 4$ см $= 0.04$ м.

Угол $= 120^\circ$.

Найти:

Другая высота $h_k$.

Площадь треугольника $S$.

Решение:

1. Определение углов треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и являются острыми. Следовательно, угол в $120^\circ$ не может быть углом при основании. Этот угол является углом при вершине, лежащей напротив основания. Пусть это будет $\angle B = 120^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, сумма углов при основании $\angle A + \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $\angle A = \angle C$ (углы при основании равнобедренного треугольника), то $\angle A = \angle C = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

2. Нахождение сторон треугольника.

Пусть высота, проведенная к основанию AC, будет BH. По условию, $BH = 4$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (где H - середина AC).

В $\triangle BHC$: $\angle C = 30^\circ$, $\angle BHC = 90^\circ$.

Используем тригонометрические соотношения:

Найдем половину основания HC, используя тангенс угла C:

$\frac{BH}{HC} = \tan(\angle C)$

$HC = \frac{BH}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Основание $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Найдем боковую сторону BC, используя синус угла C:

$\frac{BH}{BC} = \sin(\angle C)$

$BC = \frac{BH}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Таким образом, боковые стороны $AB = BC = 8$ см.

3. Вычисление площади треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота к основанию}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{3}) \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

4. Вычисление другой высоты.

В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны. Пусть $h_k$ - высота, проведенная к боковой стороне (например, из вершины A к стороне BC).

Площадь треугольника также можно выразить как $S = \frac{1}{2} \cdot \text{боковая сторона} \cdot \text{высота к боковой стороне}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_k$.

Мы знаем $S = 16\sqrt{3}$ см$^2$ и $BC = 8$ см. Подставим значения:

$16\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h_k$.

$16\sqrt{3} = 4 \cdot h_k$.

$h_k = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ:

Другая высота: $4\sqrt{3}$ см.

Площадь треугольника: $16\sqrt{3}$ см$^2$.