Номер 21, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^\circ$, а высота $CH$ делит сторону $AB$ на части $BH = 5\sqrt{3}$ см и $AH = 8$ см. Найдите наибольшую сторону этого треугольника.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Угол $B = 60^\circ$.

Высота $CH$ к стороне $AB$.

$BH = 5\sqrt{3}$ см.

$AH = 8$ см.

Перевод в СИ:

$BH = 5\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$AH = 8 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Наибольшую сторону треугольника $ABC$.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (так как $CH$ - высота, то $\angle CHB = 90^\circ$).

Известно, что $\angle B = 60^\circ$ и $BH = 5\sqrt{3}$ см.

Найдем длину высоты $CH$ с помощью тангенса угла $B$:

$\tan(\angle B) = \frac{CH}{BH}$

$CH = BH \cdot \tan(60^\circ)$

$CH = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$ в треугольнике $BHC$ с помощью косинуса угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{BH}{BC}$

$BC = \frac{BH}{\cos(60^\circ)}$

$BC = \frac{5\sqrt{3}}{1/2} = 10\sqrt{3}$ см.

Длина стороны $AB$ равна сумме отрезков $AH$ и $BH$:

$AB = AH + BH = 8 + 5\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (так как $CH$ - высота, то $\angle CHA = 90^\circ$).

Известно, что $AH = 8$ см и $CH = 15$ см.

Найдем длину стороны $AC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$AC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$AC = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь сравним длины всех сторон треугольника $ABC$:

$AB = 8 + 5\sqrt{3}$ см

$BC = 10\sqrt{3}$ см

$AC = 17$ см

Для сравнения оценим значения сторон, используя $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$AB \approx 8 + 5 \cdot 1.732 = 8 + 8.66 = 16.66$ см

$BC \approx 10 \cdot 1.732 = 17.32$ см

$AC = 17$ см

Сравнивая значения $16.66$, $17.32$ и $17$, видим, что наибольшая сторона $BC = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.