Номер 20, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. В $\triangle ABC$ $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle C = 45^{\circ}$, $AC = 2 \text{ дм}$. Найдите высоту $BD$ этого треугольника.

Дано:

$\triangle ABC$
$\angle A = 30^\circ$
$\angle C = 45^\circ$
$AC = 2$ дм

Перевод в СИ:

$AC = 2$ дм $= 0.2$ м

Найти:

Высота $BD$

Решение:

Пусть $BD = h$ - высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Так как $BD$ - высота, то она перпендикулярна $AC$, следовательно, $\angle BDA = 90^\circ$.
Таким образом, $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ являются прямоугольными треугольниками.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABD$:
$\angle A = 30^\circ$
$\angle BDA = 90^\circ$
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
$\tan A = \frac{BD}{AD}$
Отсюда выразим $AD$: $AD = \frac{BD}{\tan A} = \frac{h}{\tan 30^\circ}$
Известно, что $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, $AD = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle CBD$:
$\angle C = 45^\circ$
$\angle BDC = 90^\circ$
Аналогично, $\tan C = \frac{BD}{CD}$
Отсюда выразим $CD$: $CD = \frac{BD}{\tan C} = \frac{h}{\tan 45^\circ}$
Известно, что $\tan 45^\circ = 1$.
Следовательно, $CD = \frac{h}{1} = h$.

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$ (так как углы $A$ и $C$ острые, высота падает внутрь отрезка $AC$), то длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $CD$:
$AC = AD + CD$
Подставим найденные выражения для $AD$ и $CD$:
$AC = h\sqrt{3} + h$
Вынесем $h$ за скобки:
$AC = h(\sqrt{3} + 1)$

Нам дано, что $AC = 2$ дм. Подставим это значение в уравнение:
$2 = h(\sqrt{3} + 1)$

Решим уравнение относительно $h$:
$h = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:
$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ в знаменателе:
$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$
$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$
$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2}$
$h = \sqrt{3} - 1$

Таким образом, длина высоты $BD$ составляет $(\sqrt{3} - 1)$ дм.

Ответ:

$BD = (\sqrt{3} - 1)$ дм.