Номер 14, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см.

Дано:
прямоугольный треугольник
гипотенуза $c = 17\text{ см}$
радиус вписанной окружности $r = 3\text{ см}$

Перевод в СИ:
$c = 17\text{ см} = 0.17\text{ м}$
$r = 3\text{ см} = 0.03\text{ м}$

Найти:
катеты $a, b$

Решение:
Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$. Для прямоугольного треугольника известны две основные формулы, связывающие его стороны и радиус вписанной окружности: 1. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$
2. Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a + b - c}{2}$
Подставим известные значения гипотенузы $c=17\text{ см}$ и радиуса $r=3\text{ см}$ в эти формулы: 1. $a^2 + b^2 = 17^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 289$
2. $3 = \frac{a + b - 17}{2}$
Из второго уравнения найдем сумму катетов $a + b$:
$3 \cdot 2 = a + b - 17$
$6 = a + b - 17$
$a + b = 6 + 17$
$a + b = 23$
Теперь у нас есть система уравнений:
(I) $a + b = 23$
(II) $a^2 + b^2 = 289$
Из уравнения (I) выразим одну переменную, например $b$: $b = 23 - a$.
Подставим это выражение для $b$ в уравнение (II):
$a^2 + (23 - a)^2 = 289$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 + (23^2 - 2 \cdot 23 \cdot a + a^2) = 289$
$a^2 + (529 - 46a + a^2) = 289$
Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:
$2a^2 - 46a + 529 - 289 = 0$
$2a^2 - 46a + 240 = 0$
Разделим все члены квадратного уравнения на 2, чтобы упростить его:
$a^2 - 23a + 120 = 0$
Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней $a = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$, где $\Delta = B^2 - 4AC$. В нашем случае $A=1$, $B=-23$, $C=120$.
Найдем дискриминант $\Delta$:
$\Delta = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120$
$\Delta = 529 - 480$
$\Delta = 49$
Теперь найдем корни уравнения:
$a_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$a_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$
Если один катет $a = 15\text{ см}$, то второй катет $b = 23 - 15 = 8\text{ см}$.
Если один катет $a = 8\text{ см}$, то второй катет $b = 23 - 8 = 15\text{ см}$.
Таким образом, катеты треугольника равны $8\text{ см}$ и $15\text{ см}$.

Ответ:
Катеты равны $8\text{ см}$ и $15\text{ см}$.