Номер 10, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $D$. Докажите, что $CD : DB = 2 : 1$.

Дано: Треугольник $ABC$. $M$ — середина стороны $AB$. $CM$ — медиана треугольника $ABC$. $O$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$, то есть $O \in CM$. Через точку $O$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $D$.

Найти: Доказать, что $CD : DB = 2 : 1$.

Решение

1. Рассмотрим медиану $CM$ треугольника $ABC$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$.

2. Точка $O$ является центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника $ABC$. Известно, что центроид делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, для медианы $CM$ имеем:

$CO : OM = 2 : 1$

Это означает, что $CO = 2 \cdot OM$.

Длина всей медианы $CM$ равна сумме отрезков $CO$ и $OM$: $CM = CO + OM$.

Подставим $CO = 2 \cdot OM$: $CM = 2 \cdot OM + OM = 3 \cdot OM$.

Таким образом, отношение $CO$ к $CM$ равно:

$\frac{CO}{CM} = \frac{2 \cdot OM}{3 \cdot OM} = \frac{2}{3}$

3. Рассмотрим треугольник $CMB$. Сторона $MB$ является частью стороны $AB$.

По условию, через точку $O$ проведена прямая $OD$, параллельная стороне $AB$. Так как $MB$ является частью $AB$, то прямая $OD$ параллельна отрезку $MB$ ($OD \parallel MB$).

4. Рассмотрим треугольники $COD$ и $CMB$.

• Угол $C$ является общим для обоих треугольников ($\angle OCD = \angle BCM$).
• Поскольку $OD \parallel MB$, то соответствующие углы при параллельных прямых и секущей $CB$ равны: $\angle CDO = \angle CBM$.

Таким образом, треугольники $COD$ и $CMB$ подобны по двум углам (по признаку $AA$ подобия).

5. Из подобия треугольников $COD \sim CMB$ следует, что отношения соответствующих сторон равны:

$\frac{CD}{CB} = \frac{CO}{CM} = \frac{OD}{MB}$

6. Используя отношение, полученное в пункте 2 ($\frac{CO}{CM} = \frac{2}{3}$), подставим его в равенство отношений сторон:

$\frac{CD}{CB} = \frac{2}{3}$

7. Это равенство означает, что длина отрезка $CD$ составляет две трети от длины всей стороны $CB$. Пусть $CD = 2x$, тогда $CB = 3x$ для некоторого $x$.

Длина отрезка $DB$ может быть найдена как разность длин сторон $CB$ и $CD$:

$DB = CB - CD = 3x - 2x = x$

8. Теперь найдем отношение $CD : DB$:

$CD : DB = 2x : x = 2 : 1$

Таким образом, доказано, что $CD : DB = 2 : 1$.

Ответ: Доказано, что $CD : DB = 2 : 1$.