Номер 5, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. В прямоугольнике одна сторона равна $a$, а диагональ – $2a$. Чему равен тупой угол между диагоналями прямоугольника и его площадь?

Дано

Прямоугольник.

Длина одной стороны: $a$.

Длина диагонали: $d = 2a$.

Найти

Тупой угол между диагоналями прямоугольника.

Площадь прямоугольника.

Решение

Тупой угол между диагоналями прямоугольника

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ прямоугольника равна $d$. По условию, одна сторона равна $a$, а диагональ равна $2a$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника и его диагональю, имеем:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения:

$a^2 + b^2 = (2a)^2$

$a^2 + b^2 = 4a^2$

$b^2 = 4a^2 - a^2$

$b^2 = 3a^2$

$b = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны $a$ и $a\sqrt{3}$.

Диагонали прямоугольника равны по длине и в точке пересечения делятся пополам. Длина каждой диагонали равна $d = 2a$. Следовательно, половина каждой диагонали равна $d/2 = (2a)/2 = a$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника, длина которой $a$. Стороны этого треугольника: $a$ (половина одной диагонали), $a$ (половина другой диагонали) и $a$ (сторона прямоугольника).

Поскольку все три стороны этого треугольника равны $a$, он является равносторонним. Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Угол между диагоналями, который лежит напротив стороны $a$, равен $60^\circ$. Это острый угол.

Тупой угол между диагоналями является смежным с острым углом. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Следовательно, тупой угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

Его площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон.

Мы нашли, что стороны прямоугольника равны $a$ и $b = a\sqrt{3}$.

$S = a \cdot b$

$S = a \cdot (a\sqrt{3})$

$S = a^2\sqrt{3}$

Ответ: $a^2\sqrt{3}$