Номер 1, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Используя данные на рисунке 30, найдите углы:

а) параллелограмма MNPK;

$25^\circ$, $20^\circ$ (при вершине M)

б) ромба ABCD;

$65^\circ$ (при вершине B)

в) трапеции EFTS.

$\angle E = 45^\circ$, $\angle S = 80^\circ$

Рисунок 30

Дано:

На рисунке 30 представлены геометрические фигуры: параллелограмм MNPK, ромб ABCD и трапеция EFTS.

Для параллелограмма MNPK: $\angle NMP = 25^\circ$, $\angle PMK = 20^\circ$.

Для ромба ABCD: $\angle ABD = 65^\circ$.

Для трапеции EFTS: $\angle E = 45^\circ$, $\angle S = 80^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма MNPK ($\angle M, \angle N, \angle P, \angle K$).

Углы ромба ABCD ($\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$).

Углы трапеции EFTS ($\angle E, \angle F, \angle T, \angle S$).

Решение:

а) параллелограмма MNPK

В параллелограмме MNPK сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, а противоположные углы равны. Также, накрест лежащие углы при параллельных сторонах и секущей равны.

1. Найдем угол $\angle M$. Он состоит из двух частей: $\angle NMP$ и $\angle PMK$.

$\angle M = \angle NMP + \angle PMK = 25^\circ + 20^\circ = 45^\circ$.

2. Так как $MN \parallel PK$ и MP - секущая, то $\angle NMP = \angle KPM = 25^\circ$ (как накрест лежащие углы).

3. Так как $NP \parallel MK$ и MP - секущая, то $\angle NPM = \angle PMK = 20^\circ$ (как накрест лежащие углы).

4. Угол $\angle K$ равен углу $\angle M$, так как это противоположные углы параллелограмма.

$\angle K = \angle M = 45^\circ$.

5. Угол $\angle N$ прилежит к стороне MN вместе с углом $\angle M$. Сумма этих углов равна $180^\circ$.

$\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

6. Угол $\angle P$ равен углу $\angle N$, так как это противоположные углы параллелограмма.

$\angle P = \angle N = 135^\circ$.

Ответ: $\angle M = 45^\circ$, $\angle N = 135^\circ$, $\angle P = 135^\circ$, $\angle K = 45^\circ$.

б) ромба ABCD

Ромб является параллелограммом, поэтому его свойства применимы. Дополнительные свойства ромба: все стороны равны, а диагонали делят углы пополам.

1. Известно, что $\angle ABD = 65^\circ$. Поскольку диагональ ромба делит его угол пополам, то $\angle DBC = \angle ABD = 65^\circ$.

2. Угол $\angle B$ ромба состоит из $\angle ABD$ и $\angle DBC$.

$\angle B = \angle ABD + \angle DBC = 65^\circ + 65^\circ = 130^\circ$.

3. В ромбе противоположные углы равны, следовательно, $\angle D = \angle B = 130^\circ$.

4. Угол $\angle ADB$ является накрест лежащим углом к $\angle DBC$ при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

$\angle ADB = \angle DBC = 65^\circ$. (Также, $\triangle ABD$ равнобедренный, т.к. $AB=AD$, значит, $\angle ADB = \angle ABD = 65^\circ$).

5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle B = 180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

6. Противоположные углы ромба равны, следовательно, $\angle C = \angle A = 50^\circ$.

Ответ: $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 130^\circ$, $\angle C = 50^\circ$, $\angle D = 130^\circ$.

в) трапеции EFTS

В трапеции EFTS основания $FT$ и $ES$ параллельны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.

1. Для боковой стороны $EF$: $\angle E + \angle F = 180^\circ$.

$\angle F = 180^\circ - \angle E = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

2. Для боковой стороны $TS$: $\angle T + \angle S = 180^\circ$.

$\angle T = 180^\circ - \angle S = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Ответ: $\angle E = 45^\circ$, $\angle F = 135^\circ$, $\angle T = 100^\circ$, $\angle S = 80^\circ$.