Номер 2, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. В четырехугольнике $ABCD$ к диагонали $AC$ проведены перпендикуляры $BF$ и $DK$, причем $BF = DK$, $\angle BAF = \angle DCK$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$. $BF \perp AC$ и $DK \perp AC$, где $F$ и $K$ — точки на диагонали $AC$. $BF = DK$. $\angle BAF = \angle DCK$.

Найти:

Доказать, что $ABCD$ — параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle CDK$.

Поскольку $BF \perp AC$ и $DK \perp AC$, то $\angle AFB = 90^\circ$ и $\angle DKC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABF$ и $\triangle CDK$ являются прямоугольными треугольниками.

У нас дано, что $BF = DK$ (катеты равны) и $\angle BAF = \angle DCK$ (острые углы равны).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (или по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам - AAS: $\angle AFB = \angle DKC = 90^\circ$, $\angle BAF = \angle DCK$, $BF=DK$), делаем вывод, что $\triangle ABF \cong \triangle CDK$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = CD$ (стороны, лежащие напротив прямых углов, т.е. гипотенузы).

Также из условия $\angle BAF = \angle DCK$ следует, что $\angle BAC = \angle DCA$, так как точки $F$ и $K$ лежат на отрезке $AC$. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

Поскольку накрест лежащие углы равны ($\angle BAC = \angle DCA$), то прямые $AB$ и $CD$ параллельны: $AB \parallel CD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ одна пара противоположных сторон ($AB$ и $CD$) равна ($AB = CD$) и параллельна ($AB \parallel CD$).

По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ:

Доказано, что $ABCD$ является параллелограммом.