Номер 3, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Докажите, что если в параллелограмме равны высоты, проведенные из одной вершины, то этот параллелограмм является ромбом.

Дано:
параллелограмм $ABCD$.
Из вершины $A$ проведены высоты $AH_1$ к стороне $BC$ и $AH_2$ к стороне $CD$.
$AH_1 = AH_2$.

Найти:
Доказать, что $ABCD$ - ромб.

Решение:
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть из вершины $A$ проведены две высоты:
1. Высота $AH_1$ к стороне $BC$. В этом случае $BC$ является основанием, а $AH_1$ - соответствующей высотой.
2. Высота $AH_2$ к стороне $CD$. В этом случае $CD$ является основанием, а $AH_2$ - соответствующей высотой.
По условию задачи, эти высоты равны, то есть $AH_1 = AH_2$. Обозначим их общую длину через $h$, так что $h = AH_1 = AH_2$.
Площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длины основания на соответствующую высоту. Используя два разных основания и соответствующие им высоты, мы можем записать площадь $S_{ABCD}$ следующими способами:
$S_{ABCD} = BC \cdot AH_1$
$S_{ABCD} = CD \cdot AH_2$
Поскольку это один и тот же параллелограмм, его площадь неизменна, поэтому мы можем приравнять эти два выражения для площади:
$BC \cdot AH_1 = CD \cdot AH_2$
Подставим $h$ вместо $AH_1$ и $AH_2$:
$BC \cdot h = CD \cdot h$
Так как $h$ - это высота параллелограмма, она не может быть равна нулю ($h \neq 0$). Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $h$:
$BC = CD$
Мы установили, что две смежные стороны параллелограмма $BC$ и $CD$ равны.
В параллелограмме противоположные стороны равны по свойству:
$AD = BC$
$AB = CD$
Из равенства $BC = CD$ и свойств параллелограмма следует, что $AD = BC = CD = AB$.
Таким образом, все четыре стороны параллелограмма $ABCD$ равны.
По определению, параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.
Следовательно, $ABCD$ является ромбом.

Ответ:
Доказано, что если в параллелограмме равны высоты, проведенные из одной вершины, то этот параллелограмм является ромбом.