Номер 7, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. а) Найдите углы параллелограмма MNPK, изображенного на рисунке 31, если угол LPH равен $135^\circ$.

б) По одну сторону от прямой $b$ даны две точки $B$ и $C$ на расстоянии соответственно 8 см и 14 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка $BC$ до прямой $b$.

Рисунок 31

а) Найдите углы параллелограмма MNPK, изображенного на рисунке 31, если угол LPH равен 135°.

Дано:

Параллелограмм $MNPK$.

На рисунке 31 указаны прямые углы: $\angle KLP = 90^\circ$ и $\angle PHK = 90^\circ$.

Известен угол: $\angle LPH = 135^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма $MNPK$.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник $LPHK$.

По условию, обозначенному на рисунке 31, углы $\angle KLP$ и $\angle PHK$ являются прямыми, то есть $\angle KLP = 90^\circ$ и $\angle PHK = 90^\circ$.

Сумма этих двух противоположных углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна $180^\circ$, то такой четырёхугольник является вписанным, то есть вокруг него можно описать окружность.

Следовательно, четырёхугольник $LPHK$ является вписанным в некоторую окружность.

Для любого вписанного четырёхугольника справедливо свойство, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Таким образом, для четырёхугольника $LPHK$ выполняется соотношение: $\angle LKH + \angle LPH = 180^\circ$.

По условию задачи, нам дан угол $\angle LPH = 135^\circ$.

Подставим это значение в уравнение: $\angle LKH + 135^\circ = 180^\circ$.

Отсюда находим величину угла $\angle LKH$: $\angle LKH = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

На рисунке видно, что угол $\angle LKH$ является углом $\angle K$ параллелограмма $MNPK$ (то есть $\angle NKP$).

Следовательно, $\angle NKP = 45^\circ$.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle MNP = \angle NKP = 45^\circ$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Таким образом, $\angle NPK = 180^\circ - \angle NKP = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Также, противоположный угол $\angle NMK = \angle NPK = 135^\circ$.

Ответ:

Углы параллелограмма $MNPK$ равны $45^\circ$, $135^\circ$, $45^\circ$, $135^\circ$.

б) По одну сторону от прямой b даны две точки B и C на расстоянии соответственно 8 см и 14 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка BC до прямой b.

Дано:

Прямая $b$.

Точки $B$ и $C$ расположены по одну сторону от прямой $b$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $b$ равно $h_B = 8$ см.

Расстояние от точки $C$ до прямой $b$ равно $h_C = 14$ см.

Точка $M$ является серединой отрезка $BC$.

Найти:

Расстояние от точки $M$ до прямой $b$.

Решение:

Проведём из точек $B$, $M$ и $C$ перпендикуляры к прямой $b$. Пусть точки их пересечения с прямой $b$ будут $B_1$, $M_1$ и $C_1$ соответственно.

Тогда $BB_1 = 8$ см и $CC_1 = 14$ см. Нам необходимо найти длину отрезка $MM_1$.

Поскольку $BB_1 \perp b$, $MM_1 \perp b$ и $CC_1 \perp b$, эти три отрезка параллельны друг другу: $BB_1 \parallel MM_1 \parallel CC_1$.

Рассмотрим трапецию $BB_1C_1C$, у которой параллельные стороны $BB_1$ и $CC_1$. Отрезок $MM_1$ соединяет середину непараллельной стороны $BC$ с основанием $B_1C_1$.

Для решения этой задачи можно воспользоваться свойством средней линии трапеции или методом подобных треугольников.

Проведём через точку $B$ прямую, параллельную прямой $b$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $MM_1$ в точке $K$ и отрезок $CC_1$ в точке $L$.

Четырёхугольник $BB_1L_1L$ (где $L_1$ - проекция $L$ на $b$) является прямоугольником. Также $BB_1M_1K$ является прямоугольником. Следовательно, $BK = B_1M_1$ и $CL = CC_1 - BB_1$.

В треугольнике $\triangle BLC$, отрезок $MK$ параллелен стороне $LC$ (так как $MM_1 \parallel CC_1$, и $BKL$ - прямая, параллельная $B_1C_1$).

Поскольку $M$ является серединой отрезка $BC$ и $MK \parallel LC$, то по теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника), точка $K$ является серединой отрезка $BL$.

Следовательно, длина отрезка $MK$ равна половине длины отрезка $LC$: $MK = \frac{1}{2} LC$.

Длина отрезка $LC$ вычисляется как разность длин перпендикуляров $CC_1$ и $BB_1$ (так как $CL$ является частью $CC_1$ после вычета $BB_1$):

$LC = CC_1 - BB_1 = 14 \text{ см} - 8 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Теперь найдём длину $MK$:

$MK = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $b$ равно $MM_1 = MK + KB_1$. Так как $BB_1M_1K$ - прямоугольник, $KB_1 = BB_1$.

$MM_1 = MK + BB_1 = 3 \text{ см} + 8 \text{ см} = 11 \text{ см}$.

Таким образом, расстояние от середины отрезка $BC$ до прямой $b$ равно среднему арифметическому расстояний от точек $B$ и $C$ до прямой $b$, когда эти точки находятся по одну сторону от прямой:

$MM_1 = \frac{h_B + h_C}{2} = \frac{8 \text{ см} + 14 \text{ см}}{2} = \frac{22 \text{ см}}{2} = 11 \text{ см}$.

Ответ:

Расстояние от середины отрезка $BC$ до прямой $b$ равно $11$ см.