Номер 4, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции, если длины ее оснований равны 8 см и 12 см, а один из углов равен $135^\circ$.

Дано:

прямоугольная трапеция ABCD

основания: $a = 12 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$

один из углов: $\alpha = 135^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Периметр: $P$

Площадь: $S$

Решение

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD перпендикулярно основаниям AB и CD. Тогда AD является высотой трапеции, и углы $\angle A = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.

Длины оснований $AB = 12 \text{ см}$ (большее основание) и $CD = 8 \text{ см}$ (меньшее основание).

В прямоугольной трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle B + \angle C = 180^\circ$. Известно, что один из углов трапеции равен $135^\circ$. Поскольку это не может быть прямой угол, то это либо $\angle B$, либо $\angle C$. В стандартной ориентации прямоугольной трапеции с большим основанием внизу, угол $\angle B$ является острым, а угол $\angle C$ является тупым. Следовательно, $\angle C = 135^\circ$.

Тогда угол $\angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Проведем высоту CE из вершины C к основанию AB. Точка E лежит на отрезке AB.

Четырехугольник AECD является прямоугольником, так как все его углы прямые ($\angle A = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$, $\angle AEC = 90^\circ$).

Следовательно, $AE = CD = 8 \text{ см}$ и $CE = AD = h$ (высота трапеции).

Найдем длину отрезка EB: $EB = AB - AE = 12 \text{ см} - 8 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CEB (прямой угол при E).

В этом треугольнике $\angle B = 45^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle BCE = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как $\angle B = \angle BCE = 45^\circ$, треугольник CEB является равнобедренным, и $CE = EB = 4 \text{ см}$.

Таким образом, высота трапеции $h = AD = CE = 4 \text{ см}$.

Найдем длину боковой стороны BC (гипотенуза треугольника CEB) по теореме Пифагора:

$BC^2 = CE^2 + EB^2$

$BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Периметр

Периметр трапеции P - это сумма длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD$

$P = 12 \text{ см} + 4\sqrt{2} \text{ см} + 8 \text{ см} + 4 \text{ см}$

$P = (24 + 4\sqrt{2}) \text{ см}$.

Если необходимо округлить, $\sqrt{2} \approx 1.414$: $P \approx 24 + 4 \cdot 1.414 = 24 + 5.656 = 29.656 \text{ см}$.

Ответ: $P = (24 + 4\sqrt{2}) \text{ см}$ или приблизительно $29.66 \text{ см}$.

Площадь

Площадь трапеции S вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot AD$

$S = \frac{12 \text{ см} + 8 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см}$

$S = \frac{20}{2} \cdot 4 \text{ см}^2$

$S = 10 \cdot 4 \text{ см}^2$

$S = 40 \text{ см}^2$.

Ответ: $S = 40 \text{ см}^2$.