Страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Используя данные на рисунке 30, найдите углы:

а) параллелограмма MNPK;

$25^\circ$, $20^\circ$ (при вершине M)

б) ромба ABCD;

$65^\circ$ (при вершине B)

в) трапеции EFTS.

$\angle E = 45^\circ$, $\angle S = 80^\circ$

Рисунок 30

Дано:

На рисунке 30 представлены геометрические фигуры: параллелограмм MNPK, ромб ABCD и трапеция EFTS.

Для параллелограмма MNPK: $\angle NMP = 25^\circ$, $\angle PMK = 20^\circ$.

Для ромба ABCD: $\angle ABD = 65^\circ$.

Для трапеции EFTS: $\angle E = 45^\circ$, $\angle S = 80^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма MNPK ($\angle M, \angle N, \angle P, \angle K$).

Углы ромба ABCD ($\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$).

Углы трапеции EFTS ($\angle E, \angle F, \angle T, \angle S$).

Решение:

а) параллелограмма MNPK

В параллелограмме MNPK сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, а противоположные углы равны. Также, накрест лежащие углы при параллельных сторонах и секущей равны.

1. Найдем угол $\angle M$. Он состоит из двух частей: $\angle NMP$ и $\angle PMK$.

$\angle M = \angle NMP + \angle PMK = 25^\circ + 20^\circ = 45^\circ$.

2. Так как $MN \parallel PK$ и MP - секущая, то $\angle NMP = \angle KPM = 25^\circ$ (как накрест лежащие углы).

3. Так как $NP \parallel MK$ и MP - секущая, то $\angle NPM = \angle PMK = 20^\circ$ (как накрест лежащие углы).

4. Угол $\angle K$ равен углу $\angle M$, так как это противоположные углы параллелограмма.

$\angle K = \angle M = 45^\circ$.

5. Угол $\angle N$ прилежит к стороне MN вместе с углом $\angle M$. Сумма этих углов равна $180^\circ$.

$\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

6. Угол $\angle P$ равен углу $\angle N$, так как это противоположные углы параллелограмма.

$\angle P = \angle N = 135^\circ$.

Ответ: $\angle M = 45^\circ$, $\angle N = 135^\circ$, $\angle P = 135^\circ$, $\angle K = 45^\circ$.

б) ромба ABCD

Ромб является параллелограммом, поэтому его свойства применимы. Дополнительные свойства ромба: все стороны равны, а диагонали делят углы пополам.

1. Известно, что $\angle ABD = 65^\circ$. Поскольку диагональ ромба делит его угол пополам, то $\angle DBC = \angle ABD = 65^\circ$.

2. Угол $\angle B$ ромба состоит из $\angle ABD$ и $\angle DBC$.

$\angle B = \angle ABD + \angle DBC = 65^\circ + 65^\circ = 130^\circ$.

3. В ромбе противоположные углы равны, следовательно, $\angle D = \angle B = 130^\circ$.

4. Угол $\angle ADB$ является накрест лежащим углом к $\angle DBC$ при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

$\angle ADB = \angle DBC = 65^\circ$. (Также, $\triangle ABD$ равнобедренный, т.к. $AB=AD$, значит, $\angle ADB = \angle ABD = 65^\circ$).

5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle B = 180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

6. Противоположные углы ромба равны, следовательно, $\angle C = \angle A = 50^\circ$.

Ответ: $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 130^\circ$, $\angle C = 50^\circ$, $\angle D = 130^\circ$.

в) трапеции EFTS

В трапеции EFTS основания $FT$ и $ES$ параллельны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.

1. Для боковой стороны $EF$: $\angle E + \angle F = 180^\circ$.

$\angle F = 180^\circ - \angle E = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

2. Для боковой стороны $TS$: $\angle T + \angle S = 180^\circ$.

$\angle T = 180^\circ - \angle S = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Ответ: $\angle E = 45^\circ$, $\angle F = 135^\circ$, $\angle T = 100^\circ$, $\angle S = 80^\circ$.

2. В четырехугольнике $ABCD$ к диагонали $AC$ проведены перпендикуляры $BF$ и $DK$, причем $BF = DK$, $\angle BAF = \angle DCK$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$. $BF \perp AC$ и $DK \perp AC$, где $F$ и $K$ — точки на диагонали $AC$. $BF = DK$. $\angle BAF = \angle DCK$.

Найти:

Доказать, что $ABCD$ — параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle CDK$.

Поскольку $BF \perp AC$ и $DK \perp AC$, то $\angle AFB = 90^\circ$ и $\angle DKC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABF$ и $\triangle CDK$ являются прямоугольными треугольниками.

У нас дано, что $BF = DK$ (катеты равны) и $\angle BAF = \angle DCK$ (острые углы равны).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (или по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам - AAS: $\angle AFB = \angle DKC = 90^\circ$, $\angle BAF = \angle DCK$, $BF=DK$), делаем вывод, что $\triangle ABF \cong \triangle CDK$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = CD$ (стороны, лежащие напротив прямых углов, т.е. гипотенузы).

Также из условия $\angle BAF = \angle DCK$ следует, что $\angle BAC = \angle DCA$, так как точки $F$ и $K$ лежат на отрезке $AC$. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

Поскольку накрест лежащие углы равны ($\angle BAC = \angle DCA$), то прямые $AB$ и $CD$ параллельны: $AB \parallel CD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ одна пара противоположных сторон ($AB$ и $CD$) равна ($AB = CD$) и параллельна ($AB \parallel CD$).

По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ:

Доказано, что $ABCD$ является параллелограммом.

3. Докажите, что если в параллелограмме равны высоты, проведенные из одной вершины, то этот параллелограмм является ромбом.

Дано:
параллелограмм $ABCD$.
Из вершины $A$ проведены высоты $AH_1$ к стороне $BC$ и $AH_2$ к стороне $CD$.
$AH_1 = AH_2$.

Найти:
Доказать, что $ABCD$ - ромб.

Решение:
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть из вершины $A$ проведены две высоты:
1. Высота $AH_1$ к стороне $BC$. В этом случае $BC$ является основанием, а $AH_1$ - соответствующей высотой.
2. Высота $AH_2$ к стороне $CD$. В этом случае $CD$ является основанием, а $AH_2$ - соответствующей высотой.
По условию задачи, эти высоты равны, то есть $AH_1 = AH_2$. Обозначим их общую длину через $h$, так что $h = AH_1 = AH_2$.
Площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длины основания на соответствующую высоту. Используя два разных основания и соответствующие им высоты, мы можем записать площадь $S_{ABCD}$ следующими способами:
$S_{ABCD} = BC \cdot AH_1$
$S_{ABCD} = CD \cdot AH_2$
Поскольку это один и тот же параллелограмм, его площадь неизменна, поэтому мы можем приравнять эти два выражения для площади:
$BC \cdot AH_1 = CD \cdot AH_2$
Подставим $h$ вместо $AH_1$ и $AH_2$:
$BC \cdot h = CD \cdot h$
Так как $h$ - это высота параллелограмма, она не может быть равна нулю ($h \neq 0$). Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $h$:
$BC = CD$
Мы установили, что две смежные стороны параллелограмма $BC$ и $CD$ равны.
В параллелограмме противоположные стороны равны по свойству:
$AD = BC$
$AB = CD$
Из равенства $BC = CD$ и свойств параллелограмма следует, что $AD = BC = CD = AB$.
Таким образом, все четыре стороны параллелограмма $ABCD$ равны.
По определению, параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.
Следовательно, $ABCD$ является ромбом.

Ответ:
Доказано, что если в параллелограмме равны высоты, проведенные из одной вершины, то этот параллелограмм является ромбом.

4. Найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции, если длины ее оснований равны 8 см и 12 см, а один из углов равен $135^\circ$.

Дано:

прямоугольная трапеция ABCD

основания: $a = 12 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$

один из углов: $\alpha = 135^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Периметр: $P$

Площадь: $S$

Решение

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD перпендикулярно основаниям AB и CD. Тогда AD является высотой трапеции, и углы $\angle A = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.

Длины оснований $AB = 12 \text{ см}$ (большее основание) и $CD = 8 \text{ см}$ (меньшее основание).

В прямоугольной трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle B + \angle C = 180^\circ$. Известно, что один из углов трапеции равен $135^\circ$. Поскольку это не может быть прямой угол, то это либо $\angle B$, либо $\angle C$. В стандартной ориентации прямоугольной трапеции с большим основанием внизу, угол $\angle B$ является острым, а угол $\angle C$ является тупым. Следовательно, $\angle C = 135^\circ$.

Тогда угол $\angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Проведем высоту CE из вершины C к основанию AB. Точка E лежит на отрезке AB.

Четырехугольник AECD является прямоугольником, так как все его углы прямые ($\angle A = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$, $\angle AEC = 90^\circ$).

Следовательно, $AE = CD = 8 \text{ см}$ и $CE = AD = h$ (высота трапеции).

Найдем длину отрезка EB: $EB = AB - AE = 12 \text{ см} - 8 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CEB (прямой угол при E).

В этом треугольнике $\angle B = 45^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle BCE = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как $\angle B = \angle BCE = 45^\circ$, треугольник CEB является равнобедренным, и $CE = EB = 4 \text{ см}$.

Таким образом, высота трапеции $h = AD = CE = 4 \text{ см}$.

Найдем длину боковой стороны BC (гипотенуза треугольника CEB) по теореме Пифагора:

$BC^2 = CE^2 + EB^2$

$BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Периметр

Периметр трапеции P - это сумма длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD$

$P = 12 \text{ см} + 4\sqrt{2} \text{ см} + 8 \text{ см} + 4 \text{ см}$

$P = (24 + 4\sqrt{2}) \text{ см}$.

Если необходимо округлить, $\sqrt{2} \approx 1.414$: $P \approx 24 + 4 \cdot 1.414 = 24 + 5.656 = 29.656 \text{ см}$.

Ответ: $P = (24 + 4\sqrt{2}) \text{ см}$ или приблизительно $29.66 \text{ см}$.

Площадь

Площадь трапеции S вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot AD$

$S = \frac{12 \text{ см} + 8 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см}$

$S = \frac{20}{2} \cdot 4 \text{ см}^2$

$S = 10 \cdot 4 \text{ см}^2$

$S = 40 \text{ см}^2$.

Ответ: $S = 40 \text{ см}^2$.