Страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $D$. Докажите, что $CD : DB = 2 : 1$.

Дано: Треугольник $ABC$. $M$ — середина стороны $AB$. $CM$ — медиана треугольника $ABC$. $O$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$, то есть $O \in CM$. Через точку $O$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $D$.

Найти: Доказать, что $CD : DB = 2 : 1$.

Решение

1. Рассмотрим медиану $CM$ треугольника $ABC$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$.

2. Точка $O$ является центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника $ABC$. Известно, что центроид делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, для медианы $CM$ имеем:

$CO : OM = 2 : 1$

Это означает, что $CO = 2 \cdot OM$.

Длина всей медианы $CM$ равна сумме отрезков $CO$ и $OM$: $CM = CO + OM$.

Подставим $CO = 2 \cdot OM$: $CM = 2 \cdot OM + OM = 3 \cdot OM$.

Таким образом, отношение $CO$ к $CM$ равно:

$\frac{CO}{CM} = \frac{2 \cdot OM}{3 \cdot OM} = \frac{2}{3}$

3. Рассмотрим треугольник $CMB$. Сторона $MB$ является частью стороны $AB$.

По условию, через точку $O$ проведена прямая $OD$, параллельная стороне $AB$. Так как $MB$ является частью $AB$, то прямая $OD$ параллельна отрезку $MB$ ($OD \parallel MB$).

4. Рассмотрим треугольники $COD$ и $CMB$.

• Угол $C$ является общим для обоих треугольников ($\angle OCD = \angle BCM$).
• Поскольку $OD \parallel MB$, то соответствующие углы при параллельных прямых и секущей $CB$ равны: $\angle CDO = \angle CBM$.

Таким образом, треугольники $COD$ и $CMB$ подобны по двум углам (по признаку $AA$ подобия).

5. Из подобия треугольников $COD \sim CMB$ следует, что отношения соответствующих сторон равны:

$\frac{CD}{CB} = \frac{CO}{CM} = \frac{OD}{MB}$

6. Используя отношение, полученное в пункте 2 ($\frac{CO}{CM} = \frac{2}{3}$), подставим его в равенство отношений сторон:

$\frac{CD}{CB} = \frac{2}{3}$

7. Это равенство означает, что длина отрезка $CD$ составляет две трети от длины всей стороны $CB$. Пусть $CD = 2x$, тогда $CB = 3x$ для некоторого $x$.

Длина отрезка $DB$ может быть найдена как разность длин сторон $CB$ и $CD$:

$DB = CB - CD = 3x - 2x = x$

8. Теперь найдем отношение $CD : DB$:

$CD : DB = 2x : x = 2 : 1$

Таким образом, доказано, что $CD : DB = 2 : 1$.

Ответ: Доказано, что $CD : DB = 2 : 1$.

11. Точка O находится на расстоянии 18,5 см от каждой вершины прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 12 см. Найдите другой катет треугольника.

Дано:

Расстояние от точки $O$ до каждой вершины прямоугольного треугольника (радиус описанной окружности): $R = 18.5 \text{ см}$

Один из катетов прямоугольного треугольника: $a = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 18.5 \text{ см} = 0.185 \text{ м}$

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Другой катет треугольника $b$.

Решение:

Если точка $O$ находится на равном расстоянии от каждой вершины прямоугольного треугольника, то она является центром описанной окружности. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит на середине гипотенузы.

Таким образом, расстояние от точки $O$ до вершин ($R$) - это радиус описанной окружности, а гипотенуза $c$ треугольника равна двум таким радиусам.

Вычислим длину гипотенузы $c$:

$c = 2R$

$c = 2 \times 18.5 \text{ см} = 37 \text{ см}$

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ($a^2 + b^2 = c^2$), где $a$ и $b$ - катеты, а $c$ - гипотенуза, найдем длину второго катета $b$:

$b^2 = c^2 - a^2$

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Подставим известные значения:

$b = \sqrt{(37 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2}$

$b = \sqrt{1369 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2}$

$b = \sqrt{1225 \text{ см}^2}$

$b = 35 \text{ см}$

Ответ:

Другой катет треугольника равен $35 \text{ см}$.

12. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $2\sqrt{3}$ см. Найдите его площадь.

Дано

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника: $R = 2\sqrt{3}\text{ см}$

Перевод в СИ

$R = 2\sqrt{3}\text{ см} = 2\sqrt{3} \times 10^{-2}\text{ м}$

Найти:

Площадь равностороннего треугольника $S$

Решение

Для равностороннего треугольника существует связь между радиусом описанной окружности $R$ и его стороной $a$. Эта связь определяется формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этой формулы можем выразить сторону $a$ треугольника:

$a = R\sqrt{3}$

Подставим данное значение $R$:

$a = (2\sqrt{3} \times 10^{-2}\text{ м}) \times \sqrt{3} = 2 \times 3 \times 10^{-2}\text{ м} = 6 \times 10^{-2}\text{ м}$

Теперь, зная сторону равностороннего треугольника, можем найти его площадь $S$. Формула для площади равностороннего треугольника со стороной $a$ выглядит так:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение стороны $a$:

$S = \frac{(6 \times 10^{-2}\text{ м})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36 \times 10^{-4}\text{ м}^2 \times \sqrt{3}}{4}$

Выполним деление:

$S = 9\sqrt{3} \times 10^{-4}\text{ м}^2$

Ответ:

$S = 9\sqrt{3} \times 10^{-4}\text{ м}^2$

13. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 см и 12 см.

Дано

катет $a = 5 \text{ см}$

катет $b = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ

катет $a = 0.05 \text{ м}$

катет $b = 0.12 \text{ м}$

Найти:

радиус вписанной окружности $r$

Решение

для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, необходимо знать длины его катетов и гипотенузы. формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике имеет вид:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

где $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы.

сначала найдем длину гипотенузы $c$ с помощью теоремы пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

подставим известные значения катетов:

$c^2 = (5 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$c^2 = 25 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$c^2 = 169 \text{ см}^2$

извлекаем квадратный корень, чтобы найти $c$:

$c = \sqrt{169 \text{ см}^2}$

$c = 13 \text{ см}$

теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника, можем найти радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{5 \text{ см} + 12 \text{ см} - 13 \text{ см}}{2}$

$r = \frac{17 \text{ см} - 13 \text{ см}}{2}$

$r = \frac{4 \text{ см}}{2}$

$r = 2 \text{ см}$

Ответ:

$2 \text{ см}$

14. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см.

Дано:
прямоугольный треугольник
гипотенуза $c = 17\text{ см}$
радиус вписанной окружности $r = 3\text{ см}$

Перевод в СИ:
$c = 17\text{ см} = 0.17\text{ м}$
$r = 3\text{ см} = 0.03\text{ м}$

Найти:
катеты $a, b$

Решение:
Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$. Для прямоугольного треугольника известны две основные формулы, связывающие его стороны и радиус вписанной окружности: 1. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$
2. Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a + b - c}{2}$
Подставим известные значения гипотенузы $c=17\text{ см}$ и радиуса $r=3\text{ см}$ в эти формулы: 1. $a^2 + b^2 = 17^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 289$
2. $3 = \frac{a + b - 17}{2}$
Из второго уравнения найдем сумму катетов $a + b$:
$3 \cdot 2 = a + b - 17$
$6 = a + b - 17$
$a + b = 6 + 17$
$a + b = 23$
Теперь у нас есть система уравнений:
(I) $a + b = 23$
(II) $a^2 + b^2 = 289$
Из уравнения (I) выразим одну переменную, например $b$: $b = 23 - a$.
Подставим это выражение для $b$ в уравнение (II):
$a^2 + (23 - a)^2 = 289$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 + (23^2 - 2 \cdot 23 \cdot a + a^2) = 289$
$a^2 + (529 - 46a + a^2) = 289$
Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:
$2a^2 - 46a + 529 - 289 = 0$
$2a^2 - 46a + 240 = 0$
Разделим все члены квадратного уравнения на 2, чтобы упростить его:
$a^2 - 23a + 120 = 0$
Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней $a = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$, где $\Delta = B^2 - 4AC$. В нашем случае $A=1$, $B=-23$, $C=120$.
Найдем дискриминант $\Delta$:
$\Delta = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120$
$\Delta = 529 - 480$
$\Delta = 49$
Теперь найдем корни уравнения:
$a_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$a_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$
Если один катет $a = 15\text{ см}$, то второй катет $b = 23 - 15 = 8\text{ см}$.
Если один катет $a = 8\text{ см}$, то второй катет $b = 23 - 8 = 15\text{ см}$.
Таким образом, катеты треугольника равны $8\text{ см}$ и $15\text{ см}$.

Ответ:
Катеты равны $8\text{ см}$ и $15\text{ см}$.

15. Найдите стороны прямоугольного $\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)$, если:

a) высота $CD = 6$ см, $AD = 2$ см;

б) высота $CD = 5\sqrt{2}$ см, $BD : DA = 1 : 2$.

а) высота $CD = 6$ см, $AD = 2$ см

Дано:

треугольник $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CD$ — высота, $CD \perp AB$, $CD = 6 \text{ см}$, $AD = 2 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$CD = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$AD = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

стороны $AB$, $AC$, $BC$.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $CD$, проведенная к гипотенузе $AB$, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу. То есть $CD^2 = AD \cdot DB$.

Подставим известные значения: $(6 \text{ см})^2 = (2 \text{ см}) \cdot DB$.

$36 \text{ см}^2 = 2 \text{ см} \cdot DB$.

Отсюда $DB = \frac{36}{2} \text{ см} = 18 \text{ см}$.

2. Длина гипотенузы $AB$ равна сумме отрезков $AD$ и $DB$: $AB = AD + DB$.

$AB = 2 \text{ см} + 18 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

3. Найдем длину катета $AC$. Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. То есть $AC^2 = AD \cdot AB$.

$AC^2 = (2 \text{ см}) \cdot (20 \text{ см}) = 40 \text{ см}^2$.

$AC = \sqrt{40} \text{ см} = \sqrt{4 \cdot 10} \text{ см} = 2\sqrt{10} \text{ см}$.

4. Найдем длину катета $BC$. Аналогично, $BC^2 = DB \cdot AB$.

$BC^2 = (18 \text{ см}) \cdot (20 \text{ см}) = 360 \text{ см}^2$.

$BC = \sqrt{360} \text{ см} = \sqrt{36 \cdot 10} \text{ см} = 6\sqrt{10} \text{ см}$.

Ответ: $AB = 20 \text{ см}$, $AC = 2\sqrt{10} \text{ см}$, $BC = 6\sqrt{10} \text{ см}$.

б) высота $CD = 5\sqrt{2}$ см, $BD : DA = 1 : 2$

Дано:

треугольник $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CD$ — высота, $CD \perp AB$, $CD = 5\sqrt{2} \text{ см}$, $BD : DA = 1 : 2$.

Перевод в СИ:

$CD = 5\sqrt{2} \text{ см} \approx 7.07 \text{ см} = 0.05\sqrt{2} \text{ м}$

(отношение $BD:DA$ является безразмерной величиной, поэтому перевод в систему СИ не требуется).

Найти:

стороны $AB$, $AC$, $BC$.

Решение:

1. Пусть длина отрезка $BD = x$ см. Тогда из заданного отношения $BD : DA = 1 : 2$ следует, что $DA = 2x$ см.

2. Используем теорему о высоте, проведенной к гипотенузе: $CD^2 = AD \cdot DB$.

Подставим известные значения: $(5\sqrt{2} \text{ см})^2 = (2x \text{ см}) \cdot (x \text{ см})$.

$25 \cdot 2 \text{ см}^2 = 2x^2 \text{ см}^2$.

$50 = 2x^2$.

Разделим обе части на 2: $x^2 = 25$.

Так как $x$ представляет собой длину отрезка, $x$ должно быть положительным. Следовательно, $x = \sqrt{25} = 5$.

3. Найдем длины отрезков $BD$ и $DA$:

$BD = x = 5 \text{ см}$.

$DA = 2x = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

4. Длина гипотенузы $AB$ равна сумме отрезков $AD$ и $DB$: $AB = AD + DB$.

$AB = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

5. Найдем длину катета $AC$. Используем теорему о катете: $AC^2 = AD \cdot AB$.

$AC^2 = (10 \text{ см}) \cdot (15 \text{ см}) = 150 \text{ см}^2$.

$AC = \sqrt{150} \text{ см} = \sqrt{25 \cdot 6} \text{ см} = 5\sqrt{6} \text{ см}$.

6. Найдем длину катета $BC$. Аналогично, $BC^2 = DB \cdot AB$.

$BC^2 = (5 \text{ см}) \cdot (15 \text{ см}) = 75 \text{ см}^2$.

$BC = \sqrt{75} \text{ см} = \sqrt{25 \cdot 3} \text{ см} = 5\sqrt{3} \text{ см}$.

Ответ: $AB = 15 \text{ см}$, $AC = 5\sqrt{6} \text{ см}$, $BC = 5\sqrt{3} \text{ см}$.

16. Докажите, что треугольник со сторонами 3,7 см, 3,5 см и 1,2 см является прямоугольным и найдите его высоту, проведенную к большей стороне.

Дано:

Стороны треугольника: $a = 3.5$ см, $b = 1.2$ см, $c = 3.7$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 3.5 \text{ см} = 0.035 \text{ м}$

$b = 1.2 \text{ см} = 0.012 \text{ м}$

$c = 3.7 \text{ см} = 0.037 \text{ м}$

Найти:

1. Доказать, что треугольник является прямоугольным.

2. Найти высоту $h_c$, проведенную к большей стороне.

Решение:

Докажите, что треугольник со сторонами 3,7 см, 3,5 см и 1,2 см является прямоугольным

Для доказательства того, что треугольник является прямоугольным, используем обратную теорему Пифагора. Согласно этой теореме, если квадрат самой длинной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Обозначим стороны треугольника: $a = 3.5$ см, $b = 1.2$ см, $c = 3.7$ см.

Самая длинная сторона (предполагаемая гипотенуза) - это $c = 3.7$ см.

Вычислим квадрат самой длинной стороны:

$c^2 = (3.7)^2 = 13.69$

Вычислим сумму квадратов двух других сторон (предполагаемых катетов):

$a^2 + b^2 = (3.5)^2 + (1.2)^2 = 12.25 + 1.44 = 13.69$

Сравним полученные результаты:

Так как $c^2 = a^2 + b^2$ ($13.69 = 13.69$), то условие обратной теоремы Пифагора выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным. Прямой угол расположен напротив стороны длиной 3.7 см.

Ответ: Треугольник является прямоугольным.

найдите его высоту, проведенную к большей стороне

В прямоугольном треугольнике большая сторона является гипотенузой. Высота, проведенная к гипотенузе ($h_c$), может быть найдена через площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ может быть выражена двумя способами:

1. Через катеты ($a$ и $b$): $S = \frac{1}{2}ab$

2. Через гипотенузу $c$ и высоту $h_c$, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$

Приравняем эти выражения для площади, так как речь идет об одном и том же треугольнике:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$

Умножим обе части на 2:

$ab = ch_c$

Выразим высоту $h_c$ из этого уравнения:

$h_c = \frac{ab}{c}$

Подставим известные значения сторон:

$h_c = \frac{3.5 \text{ см} \cdot 1.2 \text{ см}}{3.7 \text{ см}}$

Выполним умножение в числителе:

$h_c = \frac{4.2}{3.7}$ см

Вычислим числовое значение, округлив до двух знаков после запятой:

$h_c \approx 1.135135... \text{ см}$

$h_c \approx 1.14 \text{ см}$

Ответ: Высота, проведенная к большей стороне, составляет примерно $1.14$ см (или точно $\frac{4.2}{3.7}$ см).

17. В прямоугольнике $ABCD$ точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $2 : 3$, считая от вершины $A$. В каком отношении отрезок $BN$ делит площадь прямоугольника?

17. В каком отношении отрезок BN делит площадь прямоугольника?

Дано:

прямоугольник $ABCD$
точка $N$ лежит на стороне $AD$
$AN : ND = 2 : 3$

Найти:

отношение, в котором отрезок $BN$ делит площадь прямоугольника $ABCD$.

Решение:

Пусть длина стороны $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$.
Тогда общая площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AB \cdot AD = ab$.

Точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $2:3$, считая от вершины $A$.
Это означает, что $AN : ND = 2 : 3$.
Общее количество частей, на которые разделена сторона $AD$, равно $2 + 3 = 5$.
Следовательно, длина отрезка $AN$ составляет $\frac{2}{5}$ от длины $AD$: $AN = \frac{2}{5}b$.
Длина отрезка $ND$ составляет $\frac{3}{5}$ от длины $AD$: $ND = \frac{3}{5}b$.

Отрезок $BN$ разделяет прямоугольник $ABCD$ на две фигуры: треугольник $ABN$ и четырехугольник $BCDN$.

Рассмотрим треугольник $ABN$. Поскольку $ABCD$ - прямоугольник, угол $\angle A$ равен $90^\circ$.
Таким образом, треугольник $ABN$ является прямоугольным с катетами $AB$ и $AN$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин его катетов.
$S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AN$.
Подставим значения $AB = a$ и $AN = \frac{2}{5}b$:
$S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{2}{5}b\right) = \frac{1}{5}ab$.

Площадь второй части, четырехугольника $BCDN$, можно найти, вычтя площадь треугольника $ABN$ из общей площади прямоугольника $ABCD$.
$S_{BCDN} = S_{ABCD} - S_{ABN}$.
$S_{BCDN} = ab - \frac{1}{5}ab = \frac{5}{5}ab - \frac{1}{5}ab = \frac{4}{5}ab$.

Теперь найдем отношение, в котором отрезок $BN$ делит площадь прямоугольника. Это отношение равно $S_{ABN} : S_{BCDN}$.
$S_{ABN} : S_{BCDN} = \left(\frac{1}{5}ab\right) : \left(\frac{4}{5}ab\right)$.
Поскольку $ab$ является ненулевым значением (длины сторон прямоугольника не равны нулю), мы можем сократить $ab$ из обеих частей отношения:
$\frac{1}{5} : \frac{4}{5}$.
Чтобы получить отношение целых чисел, умножим обе части отношения на $5$:
$1 : 4$.

Ответ: $1:4$

18. В прямоугольном $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $CH$ - высота.

Докажите, что площадь $\triangle ACH$ в 3 раза больше площади $\triangle BCH$.

Дано

• Треугольник $\triangle ABC$ - прямоугольный.

• $\angle C = 90^\circ$

• $\angle A = 30^\circ$

• $CH$ - высота, опущенная из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.

Перевод в СИ: данные представлены в угловых единицах (градусы), которые не требуют перевода в СИ для данной задачи. Длины сторон не даны, поэтому единицы измерения длин неактуальны для перевода.

Найти:

• Доказать, что площадь $\triangle ACH$ в 3 раза больше площади $\triangle BCH$, т.е. $S_{\triangle ACH} = 3 \cdot S_{\triangle BCH}$.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Поскольку $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Высота $CH$ опущена из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Эта высота делит исходный треугольник $\triangle ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ (угол $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ - высота). В этом треугольнике известен угол $\angle A = 30^\circ$. Выразим катет $AH$ через катет $CH$ и угол $\angle A$ с помощью тригонометрических соотношений: $AH = CH \cdot \cot(\angle A)$. Подставим значение $\angle A = 30^\circ$: $AH = CH \cdot \cot(30^\circ) = CH \cdot \sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCH$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$, так как $CH$ - высота). В этом треугольнике известен угол $\angle B = 60^\circ$. Выразим катет $BH$ через катет $CH$ и угол $\angle B$: $BH = CH \cdot \cot(\angle B)$. Подставим значение $\angle B = 60^\circ$: $BH = CH \cdot \cot(60^\circ) = CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем отношение длин отрезков $AH$ и $BH$: $\frac{AH}{BH} = \frac{CH \cdot \sqrt{3}}{CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Отсюда следует, что $AH = 3 \cdot BH$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для треугольника $\triangle ACH$ основанием является $AH$, а высотой $CH$. $S_{\triangle ACH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH$. Для треугольника $\triangle BCH$ основанием является $BH$, а высотой $CH$. $S_{\triangle BCH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH$.

Подставим найденное соотношение $AH = 3 \cdot BH$ в формулу для площади $\triangle ACH$: $S_{\triangle ACH} = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot BH) \cdot CH = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH\right)$.

Так как выражение в скобках $\left(\frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH\right)$ является площадью $\triangle BCH$, то получаем: $S_{\triangle ACH} = 3 \cdot S_{\triangle BCH}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Площадь $\triangle ACH$ в 3 раза больше площади $\triangle BCH$.

19. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 4 см. Найдите другую высоту и площадь треугольника, если один из его углов равен 120°.

Дано:

Треугольник ABC - равнобедренный.

Высота, проведенная к основанию, $h_b = 4$ см.

Один из углов треугольника равен $120^\circ$.

Перевод в СИ:

$h_b = 4$ см $= 0.04$ м.

Угол $= 120^\circ$.

Найти:

Другая высота $h_k$.

Площадь треугольника $S$.

Решение:

1. Определение углов треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и являются острыми. Следовательно, угол в $120^\circ$ не может быть углом при основании. Этот угол является углом при вершине, лежащей напротив основания. Пусть это будет $\angle B = 120^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, сумма углов при основании $\angle A + \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $\angle A = \angle C$ (углы при основании равнобедренного треугольника), то $\angle A = \angle C = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

2. Нахождение сторон треугольника.

Пусть высота, проведенная к основанию AC, будет BH. По условию, $BH = 4$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (где H - середина AC).

В $\triangle BHC$: $\angle C = 30^\circ$, $\angle BHC = 90^\circ$.

Используем тригонометрические соотношения:

Найдем половину основания HC, используя тангенс угла C:

$\frac{BH}{HC} = \tan(\angle C)$

$HC = \frac{BH}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Основание $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Найдем боковую сторону BC, используя синус угла C:

$\frac{BH}{BC} = \sin(\angle C)$

$BC = \frac{BH}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Таким образом, боковые стороны $AB = BC = 8$ см.

3. Вычисление площади треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота к основанию}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{3}) \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

4. Вычисление другой высоты.

В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны. Пусть $h_k$ - высота, проведенная к боковой стороне (например, из вершины A к стороне BC).

Площадь треугольника также можно выразить как $S = \frac{1}{2} \cdot \text{боковая сторона} \cdot \text{высота к боковой стороне}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_k$.

Мы знаем $S = 16\sqrt{3}$ см$^2$ и $BC = 8$ см. Подставим значения:

$16\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h_k$.

$16\sqrt{3} = 4 \cdot h_k$.

$h_k = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ:

Другая высота: $4\sqrt{3}$ см.

Площадь треугольника: $16\sqrt{3}$ см$^2$.

20. В $\triangle ABC$ $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle C = 45^{\circ}$, $AC = 2 \text{ дм}$. Найдите высоту $BD$ этого треугольника.

Дано:

$\triangle ABC$
$\angle A = 30^\circ$
$\angle C = 45^\circ$
$AC = 2$ дм

Перевод в СИ:

$AC = 2$ дм $= 0.2$ м

Найти:

Высота $BD$

Решение:

Пусть $BD = h$ - высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Так как $BD$ - высота, то она перпендикулярна $AC$, следовательно, $\angle BDA = 90^\circ$.
Таким образом, $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ являются прямоугольными треугольниками.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABD$:
$\angle A = 30^\circ$
$\angle BDA = 90^\circ$
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
$\tan A = \frac{BD}{AD}$
Отсюда выразим $AD$: $AD = \frac{BD}{\tan A} = \frac{h}{\tan 30^\circ}$
Известно, что $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, $AD = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle CBD$:
$\angle C = 45^\circ$
$\angle BDC = 90^\circ$
Аналогично, $\tan C = \frac{BD}{CD}$
Отсюда выразим $CD$: $CD = \frac{BD}{\tan C} = \frac{h}{\tan 45^\circ}$
Известно, что $\tan 45^\circ = 1$.
Следовательно, $CD = \frac{h}{1} = h$.

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$ (так как углы $A$ и $C$ острые, высота падает внутрь отрезка $AC$), то длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $CD$:
$AC = AD + CD$
Подставим найденные выражения для $AD$ и $CD$:
$AC = h\sqrt{3} + h$
Вынесем $h$ за скобки:
$AC = h(\sqrt{3} + 1)$

Нам дано, что $AC = 2$ дм. Подставим это значение в уравнение:
$2 = h(\sqrt{3} + 1)$

Решим уравнение относительно $h$:
$h = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:
$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ в знаменателе:
$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$
$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$
$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2}$
$h = \sqrt{3} - 1$

Таким образом, длина высоты $BD$ составляет $(\sqrt{3} - 1)$ дм.

Ответ:

$BD = (\sqrt{3} - 1)$ дм.

21. В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^\circ$, а высота $CH$ делит сторону $AB$ на части $BH = 5\sqrt{3}$ см и $AH = 8$ см. Найдите наибольшую сторону этого треугольника.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Угол $B = 60^\circ$.

Высота $CH$ к стороне $AB$.

$BH = 5\sqrt{3}$ см.

$AH = 8$ см.

Перевод в СИ:

$BH = 5\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$AH = 8 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Наибольшую сторону треугольника $ABC$.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (так как $CH$ - высота, то $\angle CHB = 90^\circ$).

Известно, что $\angle B = 60^\circ$ и $BH = 5\sqrt{3}$ см.

Найдем длину высоты $CH$ с помощью тангенса угла $B$:

$\tan(\angle B) = \frac{CH}{BH}$

$CH = BH \cdot \tan(60^\circ)$

$CH = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$ в треугольнике $BHC$ с помощью косинуса угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{BH}{BC}$

$BC = \frac{BH}{\cos(60^\circ)}$

$BC = \frac{5\sqrt{3}}{1/2} = 10\sqrt{3}$ см.

Длина стороны $AB$ равна сумме отрезков $AH$ и $BH$:

$AB = AH + BH = 8 + 5\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (так как $CH$ - высота, то $\angle CHA = 90^\circ$).

Известно, что $AH = 8$ см и $CH = 15$ см.

Найдем длину стороны $AC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$AC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$AC = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь сравним длины всех сторон треугольника $ABC$:

$AB = 8 + 5\sqrt{3}$ см

$BC = 10\sqrt{3}$ см

$AC = 17$ см

Для сравнения оценим значения сторон, используя $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$AB \approx 8 + 5 \cdot 1.732 = 8 + 8.66 = 16.66$ см

$BC \approx 10 \cdot 1.732 = 17.32$ см

$AC = 17$ см

Сравнивая значения $16.66$, $17.32$ и $17$, видим, что наибольшая сторона $BC = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.