Номер 8, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. $ABCD$ – ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O$ и $\angle A=60^\circ$. Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AD$ и $AB$ соответственно. Найдите периметр четырехугольника $MNOD$, если $BC = 16$ см.

Дано:

$ABCD$ – ромб

Диагонали пересекаются в точке $O$

$\angle A = 60^\circ$

$M$ – середина стороны $AD$

$N$ – середина стороны $AB$

$BC = 16$ см

Найти:

Периметр четырехугольника $MNOD$

Решение:

1. Определение длин сторон ромба и диагонали $BD$:

Поскольку $ABCD$ – ромб, все его стороны равны. Следовательно, $AB = BC = CD = AD = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $ABCD$ – ромб, то $AB = AD$. Угол $\angle A = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике $ABD$ с углом при вершине $60^\circ$ он является равносторонним.

Следовательно, $AB = AD = BD = 16$ см.

2. Нахождение длин отрезков $OD$ и $DM$:

Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Так как $BD = 16$ см, то $OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Точка $M$ – середина стороны $AD$. Так как $AD = 16$ см, то $DM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

3. Нахождение длин отрезков $MN$ и $NO$:

Рассмотрим треугольник $ABD$.

Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AD$ и $AB$ соответственно. Следовательно, $MN$ – средняя линия треугольника $ABD$. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. Третьей стороной является $BD$.

Тогда $MN = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Точка $N$ – середина стороны $AB$. Точка $O$ – середина диагонали $BD$. Следовательно, $NO$ – средняя линия треугольника $ABD$, соединяющая середины сторон $AB$ и $BD$. Третьей стороной является $AD$.

Тогда $NO = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

4. Вычисление периметра четырехугольника $MNOD$:

Периметр четырехугольника $MNOD$ равен сумме длин его сторон: $P_{MNOD} = MN + NO + OD + DM$.

$P_{MNOD} = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} + 8 \text{ см} + 8 \text{ см} = 32$ см.

Ответ: $32$ см