Вопросы, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какая фигура называется четырехугольником? Чему равна сумма его углов?

2. Какой четырехугольник называется параллелограммом? Какие свойства параллелограмма вы знаете?

3. Какой параллелограмм называется: а) прямоугольником; б) ромбом; в) квадратом?

4. Перечислите известные вам свойства: а) прямоугольника; б) ромба; в) квадрата.

5. По каким признакам можно установить, что четырехугольник является параллелограммом?

6. При каком условии параллелограмм является: а) прямоугольником; б) ромбом?

7. При каком условии квадратом будет: а) прямоугольник; б) ромб?

8. Какой четырехугольник называется трапецией?

9. Сформулируйте признаки равнобедренной трапеции.

10. Чему равна сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне?

11. Какие свойства имеют диагонали и углы равнобедренной трапеции?

12. Сформулируйте теорему Фалеса.

13. Дайте определения средней линии: а) треугольника; б) трапеции. Сформулируйте их свойства.

14. Перечислите четыре замечательные точки треугольника.

15. Каким свойством обладает точка пересечения: а) биссектрис треугольника; б) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; в) медиан треугольника?

16. Сформулируйте теорему Пифагора и теорему, обратную ей.

17. Как можно установить, является ли треугольник прямоугольным?

18. Какие отрезки в прямоугольном треугольнике являются средними пропорциональными?

19. Сформулируйте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

20. Какое тождество называется основным тригонометрическим тождеством?

21. Как определяются синус, косинус, тангенс и котангенс углов от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$?

22. Как, используя значения тригонометрических функций острых углов, находить значения тригонометрических функций тупых углов?

23. Пусть дан отрезок $AB$ в прямоугольной системе координат, причем $A(a; b)$, $B(c; d)$. Запишите: а) формулу координат середины $C$ отрезка $AB$; б) формулу длины отрезка $AB$; в) уравнение окружности с центром в точке $B$ и радиусом $R$.

24. Запишите известные вам формулы для вычисления площади: а) прямоугольника; б) квадрата; в) прямоугольного треугольника; г) параллелограмма; д) ромба; е) треугольника; ж) трапеции.

1. Четырехугольником называется многоугольник, имеющий четыре стороны и четыре угла. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

Ответ:

2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Ответ:

3. а) прямоугольником: Параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

б) ромбом: Параллелограмм, у которого все стороны равны.

в) квадратом: Параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые (является одновременно прямоугольником и ромбом).

Ответ:

4. а) прямоугольника:

• Все углы прямые ($90^\circ$).
• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Диагонали равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

б) ромба:

• Все стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами его углов.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

в) квадрата:

• Все стороны равны.
• Все углы прямые ($90^\circ$).
• Диагонали равны.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами его углов.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Ответ:

5. Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

• Две стороны параллельны и равны.
• Противоположные стороны попарно равны.
• Противоположные углы попарно равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Ответ:

6. а) прямоугольником: Параллелограмм является прямоугольником, если:

• Один из его углов прямой.
• Его диагонали равны.

б) ромбом: Параллелограмм является ромбом, если:

• Две его смежные стороны равны.
• Его диагонали взаимно перпендикулярны.
• Одна из его диагоналей является биссектрисой его угла.

Ответ:

7. а) прямоугольник: Прямоугольник будет квадратом, если:

• Его смежные стороны равны.
• Его диагонали взаимно перпендикулярны.
• Его диагональ делит угол пополам.

б) ромб: Ромб будет квадратом, если:

• Один из его углов прямой.
• Его диагонали равны.

Ответ:

8. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Ответ:

9. Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Признаки равнобедренной трапеции:

• Если углы при основании трапеции равны, то трапеция равнобедренная.
• Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

Ответ:

10. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.

Ответ:

11. В равнобедренной трапеции:

• Диагонали: равны.
• Углы: углы при каждом основании равны.

Ответ:

12. Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Ответ:

13. а) треугольника: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойства средней линии треугольника:

• Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

б) трапеции: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Свойства средней линии трапеции:

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Ответ:

14. Четыре замечательные точки треугольника:

• Точка пересечения медиан (центроид или центр масс).
• Точка пересечения биссектрис (инцентр, центр вписанной окружности).
• Точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности).
• Точка пересечения высот (ортоцентр).

Ответ:

15. а) биссектрис треугольника: Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника.

б) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной вокруг этого треугольника окружности. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника.

в) медиан треугольника: Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Эта точка является центром масс треугольника.

Ответ:

16. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Если $c$ - гипотенуза, а $a$ и $b$ - катеты, то $a^2 + b^2 = c^2$.

Обратная теорема Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, противолежащий первой стороне, прямой. Если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник является прямоугольным с гипотенузой $c$.

Ответ:

17. Треугольник является прямоугольным, если выполняется теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Ответ:

18. В прямоугольном треугольнике, высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним пропорциональным (геометрическим средним) между отрезками, на которые эта высота делит гипотенузу. Каждый катет является средним пропорциональным между гипотенузой и отрезком гипотенузы, прилежащим к этому катету.

Если $h_c$ - высота к гипотенузе $c$, которая делит гипотенузу на отрезки $a_c$ и $b_c$, то $h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c}$.

Если $a$ и $b$ - катеты, а $c$ - гипотенуза, и $a_c$ и $b_c$ - проекции катетов на гипотенузу, то $a = \sqrt{c \cdot a_c}$ и $b = \sqrt{c \cdot b_c}$.

Ответ:

19. Пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$. Противолежащий катет - $a$, прилежащий катет - $b$, гипотенуза - $c$.

• Синус острого угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$.
• Косинус острого угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$.
• Тангенс острого угла - отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.
• Котангенс острого угла - отношение прилежащего катета к противолежащему: $\cot \alpha = \frac{b}{a}$.

Ответ:

20. Основным тригонометрическим тождеством называется тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Ответ:

21. Синус, косинус, тангенс и котангенс углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ определяются с помощью единичной окружности.

• Синус угла $\alpha$ - ордината ($y$) точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$.
• Косинус угла $\alpha$ - абсцисса ($x$) точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$.
• Тангенс угла $\alpha$ - отношение синуса к косинусу: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (для $\alpha \ne 90^\circ$).
• Котангенс угла $\alpha$ - отношение косинуса к синусу: $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (для $\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$).

Ответ:

22. Для нахождения значений тригонометрических функций тупых углов ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), используют формулы приведения. Пусть $\alpha$ - тупой угол. Тогда $180^\circ - \alpha$ - острый угол.

• $\sin \alpha = \sin (180^\circ - \alpha)$
• $\cos \alpha = -\cos (180^\circ - \alpha)$
• $\tan \alpha = -\tan (180^\circ - \alpha)$
• $\cot \alpha = -\cot (180^\circ - \alpha)$

Таким образом, значения синуса тупого угла равны значениям синуса дополнительного острого угла, а значения косинуса, тангенса и котангенса тупого угла равны значениям соответствующих функций дополнительного острого угла, но с противоположным знаком.

Ответ:

23.

Дано

Координаты точек: $A(a; b)$, $B(c; d)$

Радиус окружности: $R$

Найти

а) Координаты середины $C$ отрезка $AB$

б) Длину отрезка $AB$

в) Уравнение окружности с центром в точке $B$ и радиусом $R$

Решение

а) формулу координат середины C отрезка AB:

Координаты середины отрезка $C(x_C; y_C)$ находятся как среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка:

$x_C = \frac{a+c}{2}$

$y_C = \frac{b+d}{2}$

Таким образом, $C\left(\frac{a+c}{2}; \frac{b+d}{2}\right)$.

б) формулу длины отрезка AB:

Длина отрезка $AB$ (расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле:

$AB = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2}$

в) уравнение окружности с центром в точке B и радиусом R:

Уравнение окружности с центром $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. В данном случае центр - точка $B(c; d)$, поэтому:

$(x - c)^2 + (y - d)^2 = R^2$

Ответ:

24. а) прямоугольника: $S = l \cdot w$, где $l$ - длина, $w$ - ширина.

б) квадрата: $S = a^2$, где $a$ - сторона квадрата.

в) прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$, где $a$ и $b$ - катеты.

г) параллелограмма: $S = b \cdot h$, где $b$ - основание, $h$ - высота, проведенная к этому основанию. Также $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a, b$ - стороны, $\alpha$ - угол между ними.

д) ромба: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали. Также $S = a^2 \sin \alpha$, где $a$ - сторона, $\alpha$ - угол ромба.

е) треугольника: $S = \frac{1}{2} b \cdot h$, где $b$ - основание, $h$ - высота, проведенная к этому основанию. Также $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \gamma$, где $a, b$ - стороны, $\gamma$ - угол между ними. По формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a,b,c$ - стороны, $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.

ж) трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота.

Ответ: