Номер 24, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. В треугольнике $ABC$ стороны $BC$ и $AC$ соответственно равны 10 см и 24 см, а медиана $CM$ равна 13 см. Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Дано:

треугольник $ABC$

$BC = 10$ см

$AC = 24$ см

медиана $CM = 13$ см

Перевод в СИ:

$BC = 0.1$ м

$AC = 0.24$ м

$CM = 0.13$ м

Найти:

Доказать, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Решение:

Для доказательства того, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, нам необходимо найти длину третьей стороны $AB$ и проверить, выполняется ли для сторон этого треугольника теорема Пифагора.

Медиана $CM$ проведена к стороне $AB$. Длина медианы $m_c$ в треугольнике, проведенной к стороне $c$ (в нашем случае $AB$), вычисляется по формуле:

$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

где $a$, $b$ — длины сторон, к которым не проведена медиана, а $c$ — длина стороны, к которой проведена медиана.

В нашем случае: $m_c = CM = 13$ см, $a = BC = 10$ см, $b = AC = 24$ см, а $c = AB$.

Подставим известные значения в формулу:

$(13)^2 = \frac{2 \cdot (10)^2 + 2 \cdot (24)^2 - AB^2}{4}$

$169 = \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 576 - AB^2}{4}$

$169 = \frac{200 + 1152 - AB^2}{4}$

$169 = \frac{1352 - AB^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$169 \cdot 4 = 1352 - AB^2$

$676 = 1352 - AB^2$

Выразим $AB^2$:

$AB^2 = 1352 - 676$

$AB^2 = 676$

Найдем $AB$:

$AB = \sqrt{676}$

$AB = 26$ см

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника $ABC$: $BC = 10$ см, $AC = 24$ см, $AB = 26$ см.

Проверим, выполняется ли для этих сторон теорема Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза - это самая длинная сторона.

Самая длинная сторона в треугольнике $ABC$ - это $AB = 26$ см.

Проверим равенство $BC^2 + AC^2 = AB^2$:

$10^2 + 24^2 = 26^2$

$100 + 576 = 676$

$676 = 676$

Равенство выполняется. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, а прямой угол находится напротив стороны $AB$, то есть угол $C$ равен $90^\circ$.

Ответ:

Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как длины его сторон $BC=10$ см, $AC=24$ см и $AB=26$ см удовлетворяют теореме Пифагора ($10^2 + 24^2 = 26^2$).