Номер 46, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

46. Дан четырехугольник $ABCD$. Докажите, что $\vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{BA} - \vec{BC} - \vec{CD}$.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$.

Найти:

Доказать, что $\vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{BA} - \vec{BC} - \vec{CD}$.

Решение:

Рассмотрим левую часть данного векторного равенства:

$LHS = \vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA}$

Используя правило сложения векторов (правило треугольника или многоугольника), согласно которому сумма векторов, конец предыдущего из которых совпадает с началом следующего, равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом последнего:

Первые два вектора $\vec{DC} + \vec{CB}$ дают вектор $\vec{DB}$:

$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$

Теперь подставим это в выражение для $LHS$:

$LHS = \vec{DB} + \vec{BA}$

Снова применяя правило сложения векторов, получаем:

$LHS = \vec{DA}$

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

$RHS = \vec{BA} - \vec{BC} - \vec{CD}$

Воспользуемся свойством векторов, что $\vec{XY} = -\vec{YX}$. Применяя это свойство, мы можем переписать вычитание векторов как сложение:

$-\vec{BC} = \vec{CB}$

$-\vec{CD} = \vec{DC}$

Подставим эти выражения в правую часть уравнения:

$RHS = \vec{BA} + \vec{CB} + \vec{DC}$

Изменим порядок слагаемых, чтобы применить правило сложения векторов в последовательности:

$RHS = \vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA}$

Как и в случае с левой частью, применяя правило сложения векторов:

$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$

Тогда:

$RHS = \vec{DB} + \vec{BA} = \vec{DA}$

Поскольку левая часть уравнения $LHS = \vec{DA}$ и правая часть уравнения $RHS = \vec{DA}$, то $LHS = RHS$. Следовательно, данное векторное равенство доказано.

Ответ:

Равенство $\vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{BA} - \vec{BC} - \vec{CD}$ доказано.