Страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уровень А

$ \vec{a} $, $ \vec{b} $, $ \vec{c} $, $ \vec{d} $

42. Изобразите векторы, как на рисунке 51. Постройте векторы, равные:

а) сумме векторов: $ \vec{a} + \vec{b} $, $ \vec{a} + \vec{c} $, $ \vec{c} + \vec{d} $;

б) разности векторов $ \vec{a} - \vec{b} $, $ \vec{a} - \vec{c} $, $ \vec{c} - \vec{d} $.

43. Покажите, что для любых векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $

Рисунок 51

Дано:

Векторы, изображенные на рисунке 51. Зададим их координаты, исходя из начала координат в левом нижнем углу видимой сетки:

$\vec{a} = (4, 0)$

$\vec{b} = (2, 2)$

$\vec{c} = (2, 0)$

$\vec{d} = (-3, 0)$

Найти:

а) Суммы векторов: $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} + \vec{c}$, $\vec{c} + \vec{d}$.

б) Разности векторов: $\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{c}$, $\vec{c} - \vec{d}$.

Решение:

а) сумме векторов

Для нахождения суммы векторов используется правило сложения векторов по координатам: если даны векторы $\vec{x} = (x_1, x_2)$ и $\vec{y} = (y_1, y_2)$, то их сумма $\vec{x} + \vec{y}$ вычисляется как $(x_1+y_1, x_2+y_2)$. Графически сумму векторов можно построить, используя правило треугольника (отложив второй вектор от конца первого) или правило параллелограмма (построив векторы из одной точки и завершив параллелограмм).

Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = (4, 0) + (2, 2) = (4+2, 0+2) = (6, 2)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{a}$ и заканчивается в точке (6, 2) на сетке, если $\vec{a}$ начинается в (0,0).

Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$:
$\vec{a} + \vec{c} = (4, 0) + (2, 0) = (4+2, 0+0) = (6, 0)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{a}$ и заканчивается в точке (6, 0) на сетке.

Сумма векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\vec{c} + \vec{d} = (2, 0) + (-3, 0) = (2-3, 0+0) = (-1, 0)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{c}$ и заканчивается в точке (-1, 0) на сетке, если $\vec{c}$ начинается в (0,0).

Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = (6, 2)$, $\vec{a} + \vec{c} = (6, 0)$, $\vec{c} + \vec{d} = (-1, 0)$.

б) разности векторов

Для нахождения разности векторов используется правило вычитания векторов по координатам: если даны векторы $\vec{x} = (x_1, x_2)$ и $\vec{y} = (y_1, y_2)$, то их разность $\vec{x} - \vec{y}$ вычисляется как $(x_1-y_1, x_2-y_2)$. Разность $\vec{x} - \vec{y}$ также можно представить как сумму $\vec{x} + (-\vec{y})$, где $-\vec{y}$ — это вектор, имеющий ту же длину, что и $\vec{y}$, но противоположное направление.

Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} - \vec{b} = (4, 0) - (2, 2) = (4-2, 0-2) = (2, -2)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{a}$ и заканчивается в точке (2, -2) на сетке.

Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$:
$\vec{a} - \vec{c} = (4, 0) - (2, 0) = (4-2, 0-0) = (2, 0)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{a}$ и заканчивается в точке (2, 0) на сетке.

Разность векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\vec{c} - \vec{d} = (2, 0) - (-3, 0) = (2-(-3), 0-0) = (2+3, 0) = (5, 0)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{c}$ и заканчивается в точке (5, 0) на сетке.

Ответ: $\vec{a} - \vec{b} = (2, -2)$, $\vec{a} - \vec{c} = (2, 0)$, $\vec{c} - \vec{d} = (5, 0)$.

Рисунок 51

43. Докажите, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ верно неравенство:

а) $|\vec{a}+\vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

б) $|\vec{a}-\vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Решение

Для доказательства данных неравенств воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Напомним, что квадрат модуля любого вектора $\vec{v}$ равен его скалярному квадрату: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Также известно, что скалярное произведение двух векторов $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Поскольку значение косинуса угла всегда находится в диапазоне от -1 до 1 (т.е. $-1 \leq \cos \theta \leq 1$), отсюда следуют важные неравенства: $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ и $-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$.

a)

Рассмотрим квадрат модуля вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

Раскроем скалярное произведение, используя свойство коммутативности ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и определение модуля ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$):

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Применим неравенство $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ (поскольку $\cos \theta \leq 1$):

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 \leq |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}| |\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Правая часть данного неравенства является полным квадратом суммы:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 \leq (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Поскольку модули векторов $|\vec{a} + \vec{b}|$ и $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)$ всегда неотрицательны, мы можем взять квадратный корень из обеих частей неравенства, сохраняя его направление:

$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Это неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (или один из них нулевой).

Ответ: Неравенство $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ доказано.

б)

Для доказательства неравенства $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ можно использовать результат, полученный в пункте а).

Рассмотрим вектор $(-\vec{b})$. Его модуль равен модулю вектора $\vec{b}$: $|-\vec{b}| = |\vec{b}|$.

Теперь подставим вектор $(-\vec{b})$ вместо $\vec{b}$ в доказанное неравенство из пункта а):

$|\vec{a} + (-\vec{b})| \leq |\vec{a}| + |-\vec{b}|$

Упростим левую и правую части:

$|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Таким образом, неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ также доказано. Равенство достигается, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противонаправлены (или один из них нулевой).

Ответ: Неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ доказано.

44. Даны точки A и B. Докажите, что для любых точек X и Y плоскости верно равенство $\vert\vec{XB} - \vec{XA}\vert = \vert\vec{YB} - \vec{YA}\vert$.

Дано:

Даны точки $A$ и $B$ на плоскости.

Точки $X$ и $Y$ - произвольные точки плоскости.

Найти:

Доказать, что $|\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA}| = |\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA}|$.

Решение:

Рассмотрим левую часть данного равенства: $|\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA}|$.

По правилу вычитания векторов, если векторы имеют общее начало, то их разность равна вектору, направленному от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора. Формально, для любых точек $P$, $Q$ и $O$, верно равенство $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$.

Применяя это правило к выражению $\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA}$, где $X$ является общим началом для векторов $\overrightarrow{XA}$ и $\overrightarrow{XB}$, получаем:

$\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA} = \overrightarrow{AB}$

Таким образом, левая часть равенства принимает вид: $|\overrightarrow{AB}|$. Величина $|\overrightarrow{AB}|$ представляет собой длину отрезка $AB$, которая является фиксированной величиной, определяемой только положением точек $A$ и $B$, и не зависит от выбора точки $X$.

Теперь рассмотрим правую часть данного равенства: $|\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA}|$.

Аналогично, применяя правило вычитания векторов к выражению $\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA}$, где $Y$ является общим началом для векторов $\overrightarrow{YA}$ и $\overrightarrow{YB}$, получаем:

$\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA} = \overrightarrow{AB}$

Таким образом, правая часть равенства принимает вид: $|\overrightarrow{AB}|$. Величина $|\overrightarrow{AB}|$ также представляет собой длину отрезка $AB$, которая, как уже было сказано, не зависит от выбора точки $Y$.

Поскольку левая часть равенства равна $|\overrightarrow{AB}|$ и правая часть равенства также равна $|\overrightarrow{AB}|$, то мы получаем:

$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AB}|$

Это равенство является тождественно верным. Следовательно, исходное равенство $|\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA}| = |\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA}|$ верно для любых точек $X$ и $Y$ на плоскости.

Ответ:

Доказано.

ексти верне равенство $|AD - AH| = |DB - DH|$.

45. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$.

Докажите, что $\vec{OA} - \vec{OB} = -(\vec{OC} - \vec{OD})$.

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$.

Доказать равенство $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = -(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Из свойства середины отрезка для векторов следует:

• Вектор $\overrightarrow{OA}$ и вектор $\overrightarrow{OC}$ противоположно направлены и равны по модулю, так как $O$ — середина $AC$. Следовательно, $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$.
• Вектор $\overrightarrow{OB}$ и вектор $\overrightarrow{OD}$ противоположно направлены и равны по модулю, так как $O$ — середина $BD$. Следовательно, $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}$.

Теперь подставим эти соотношения в левую часть доказываемого равенства:

Левая часть (ЛЧ): $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$

Заменяем $\overrightarrow{OA}$ на $(-\overrightarrow{OC})$ и $\overrightarrow{OB}$ на $(-\overrightarrow{OD})$:

ЛЧ $= (-\overrightarrow{OC}) - (-\overrightarrow{OD})$

ЛЧ $= -\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$

ЛЧ $= \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ) доказываемого равенства:

Правая часть (ПЧ): $-(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$

Раскрываем скобки, меняя знаки векторов внутри:

ПЧ $= -\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$

ПЧ $= \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

Так как левая часть $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$ равна правой части $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$, исходное равенство доказано.

Альтернативный способ доказательства через правило вычитания векторов:

Левая часть (ЛЧ): $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$По правилу вычитания векторов ($\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{Y} - \overrightarrow{X}$, если векторы исходят из общей точки $O$), то $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$.

Правая часть (ПЧ): $-(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$Сначала вычислим выражение в скобках: $\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{DC}$.Тогда ПЧ $= -\overrightarrow{DC}$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $BA$ и $DC$ являются противоположными сторонами. Они параллельны и равны по длине, но направлены противоположно (вектор $\overrightarrow{BA}$ направлен от $B$ к $A$, а вектор $\overrightarrow{DC}$ от $D$ к $C$).Следовательно, $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{DC}$.

Так как ЛЧ $= \overrightarrow{BA}$ и ПЧ $= -\overrightarrow{DC}$, и мы показали, что $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{DC}$, то ЛЧ $=$ ПЧ. Равенство доказано.

Равенство $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = -(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$ доказано.

46. Дан четырехугольник $ABCD$. Докажите, что $\vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{BA} - \vec{BC} - \vec{CD}$.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$.

Найти:

Доказать, что $\vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{BA} - \vec{BC} - \vec{CD}$.

Решение:

Рассмотрим левую часть данного векторного равенства:

$LHS = \vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA}$

Используя правило сложения векторов (правило треугольника или многоугольника), согласно которому сумма векторов, конец предыдущего из которых совпадает с началом следующего, равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом последнего:

Первые два вектора $\vec{DC} + \vec{CB}$ дают вектор $\vec{DB}$:

$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$

Теперь подставим это в выражение для $LHS$:

$LHS = \vec{DB} + \vec{BA}$

Снова применяя правило сложения векторов, получаем:

$LHS = \vec{DA}$

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

$RHS = \vec{BA} - \vec{BC} - \vec{CD}$

Воспользуемся свойством векторов, что $\vec{XY} = -\vec{YX}$. Применяя это свойство, мы можем переписать вычитание векторов как сложение:

$-\vec{BC} = \vec{CB}$

$-\vec{CD} = \vec{DC}$

Подставим эти выражения в правую часть уравнения:

$RHS = \vec{BA} + \vec{CB} + \vec{DC}$

Изменим порядок слагаемых, чтобы применить правило сложения векторов в последовательности:

$RHS = \vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA}$

Как и в случае с левой частью, применяя правило сложения векторов:

$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$

Тогда:

$RHS = \vec{DB} + \vec{BA} = \vec{DA}$

Поскольку левая часть уравнения $LHS = \vec{DA}$ и правая часть уравнения $RHS = \vec{DA}$, то $LHS = RHS$. Следовательно, данное векторное равенство доказано.

Ответ:

Равенство $\vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{BA} - \vec{BC} - \vec{CD}$ доказано.

47. Сколько нужно векторов для того, чтобы на карте Казахстана показать перемещение из столицы с заходом в каждый областной город один за другим и снова в Нур-Султан? Отметьте точками примерное положение городов по отношению к столице и покажите одно из таких перемещений. Чему равна сумма всех таких векторов?

Количество векторов

Казахстан имеет 17 областей, и каждая область имеет свой административный центр, который является областным городом. Столицей Казахстана на данный момент является город Астана (бывший Нур-Султан). Путешествие начинается из столицы, посещает каждый из 17 областных городов один за другим, а затем возвращается в столицу. Это можно представить как замкнутый путь или цикл, проходящий через столицу и все 17 областных центров. Если у нас есть $N$ областных городов и столица, общее количество точек в маршруте будет $N+1$. Для формирования замкнутого пути, проходящего через $K$ различных точек и возвращающегося в начальную точку, требуется $K$ векторов. В данном случае, мы начинаем и заканчиваем в столице, посещая 17 других уникальных городов. Таким образом, путь состоит из:

• одного вектора от столицы до первого областного города;
• 16 векторов между последовательно посещаемыми областными городами (от первого до второго, от второго до третьего, ..., от шестнадцатого до семнадцатого);
• одного вектора от последнего областного города обратно в столицу.

Ответ: 18

Представление перемещения на карте

На карте Казахстана можно отметить точки, обозначающие города. Пусть точка $P_0$ представляет столицу Астану (Нур-Султан), а точки $P_1, P_2, \dots, P_{17}$ представляют 17 областных городов. Примерное положение городов относительно столицы можно визуализировать как множество точек, расположенных по всей территории Казахстана, с Астаной (Нур-Султан) примерно в центре страны. Одно из возможных перемещений, посещающее каждый областной город один за другим и возвращающееся в столицу, можно представить как последовательность векторов: $\vec{P_0 P_1}, \vec{P_1 P_2}, \vec{P_2 P_3}, \dots, \vec{P_{16} P_{17}}, \vec{P_{17} P_0}$. Это означает, что первое перемещение идет из столицы в первый областной город, второе - из первого областного города во второй, и так далее, до последнего перемещения, которое идет из семнадцатого областного города обратно в столицу.

Ответ: Примерное положение городов - это точки, распределенные по территории Казахстана, с центральной точкой, представляющей столицу. Одно из перемещений показано как последовательность векторов $\vec{P_0 P_1}, \vec{P_1 P_2}, \dots, \vec{P_{17} P_0}$.

Сумма всех векторов

Пусть перемещение представлено последовательностью векторов $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \dots, \vec{v_{18}}$. Векторы образуют замкнутый цикл, так как путь начинается в столице ($P_0$), проходит через все 17 областных городов ($P_1, P_2, \dots, P_{17}$) и завершается возвращением в ту же начальную точку ($P_0$). При сложении векторов по правилу "начала-конца" (или треугольника/многоугольника), если конец одного вектора является началом следующего, их сумма представляет собой вектор, проведенный от начала первого вектора к концу последнего. В данном случае: $\vec{v_1} = \vec{P_0 P_1}$ $\vec{v_2} = \vec{P_1 P_2}$ ... $\vec{v_{17}} = \vec{P_{16} P_{17}}$ $\vec{v_{18}} = \vec{P_{17} P_0}$ Сумма всех векторов будет: $\vec{S} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \dots + \vec{v_{17}} + \vec{v_{18}}$ $\vec{S} = \vec{P_0 P_1} + \vec{P_1 P_2} + \dots + \vec{P_{16} P_{17}} + \vec{P_{17} P_0}$ По правилу сложения векторов, эта сумма равна вектору, который начинается в $P_0$ и заканчивается в $P_0$. То есть, $\vec{S} = \vec{P_0 P_0}$. Вектор, начало и конец которого совпадают, является нулевым вектором. Следовательно, сумма всех таких векторов равна нулевому вектору.

Ответ: Сумма всех таких векторов равна нулевому вектору ($ \vec{0} $).

48. Дан треугольник FKT. Постройте векторы, равные сумме и разности векторов:

а) $\vec{FK}$ и $\vec{KT}$;

б) $\vec{FK}$ и $\vec{FT}$;

в) $\vec{KT}$ и $\vec{FT}$.

Дано:

Треугольник $FKT$.

Найти:

Построить векторы, равные сумме и разности следующих пар векторов:

1. $\vec{FK}$ и $\vec{KT}$

2. $\vec{FK}$ и $\vec{FT}$

3. $\vec{KT}$ и $\vec{FT}$

Решение:

Пусть дан произвольный треугольник $FKT$.

а) $\vec{FK}$ и $\vec{KT}$

Сумма: $\vec{FK} + \vec{KT}$.

По правилу треугольника (правило "начала-конца"), если конец первого вектора совпадает с началом второго, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго.

В данном случае, конец вектора $\vec{FK}$ — точка $K$, и начало вектора $\vec{KT}$ — также точка $K$.

Следовательно, $\vec{FK} + \vec{KT} = \vec{FT}$.

Для построения просто рисуем треугольник $FKT$. Вектор $\vec{FT}$ будет являться суммой $\vec{FK}$ и $\vec{KT}$.

Разность: $\vec{FK} - \vec{KT}$.

Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ может быть представлена как сумма $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{KT}$ — это вектор $\vec{TK}$.

Следовательно, $\vec{FK} - \vec{KT} = \vec{FK} + \vec{TK}$.

Чтобы построить этот вектор:

1. Нарисуйте вектор $\vec{FK}$.

2. Из точки $K$ (конца вектора $\vec{FK}$) постройте вектор $\vec{KM}$, равный вектору $\vec{TK}$. Это означает, что точка $M$ должна быть такой, что $K$ является серединой отрезка $TM$.

3. Тогда искомым вектором разности будет вектор $\vec{FM}$.

Ответ: Сумма: $\vec{FT}$. Разность: $\vec{FM}$, где $M$ — точка, такая что $K$ является серединой отрезка $TM$.

б) $\vec{FK}$ и $\vec{FT}$

Эти два вектора имеют общее начало — точку $F$.

Сумма: $\vec{FK} + \vec{FT}$.

По правилу параллелограмма, если два вектора имеют общее начало, их сумма — это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, исходящая из их общего начала.

Чтобы построить этот вектор:

1. Нарисуйте векторы $\vec{FK}$ и $\vec{FT}$ из общего начала $F$.

2. Постройте точку $P$ так, чтобы $FKPT$ был параллелограммом (то есть $\vec{KP} = \vec{FT}$ и $\vec{TP} = \vec{FK}$).

3. Тогда искомым вектором суммы будет диагональ $\vec{FP}$.

Разность: $\vec{FK} - \vec{FT}$.

Для векторов, имеющих общее начало $\vec{FA}$ и $\vec{FB}$, их разность $\vec{FA} - \vec{FB}$ равна вектору $\vec{BA}$.

Следовательно, $\vec{FK} - \vec{FT} = \vec{TK}$.

Ответ: Сумма: $\vec{FP}$, где $P$ — четвертая вершина параллелограмма $FKPT$. Разность: $\vec{TK}$.

в) $\vec{KT}$ и $\vec{FT}$

Эти два вектора имеют общий конец — точку $T$.

Сумма: $\vec{KT} + \vec{FT}$.

Чтобы построить эту сумму, мы можем:

1. Перенести вектор $\vec{KT}$ так, чтобы его начало совпадало с началом вектора $\vec{FT}$, то есть с точкой $F$. Пусть это будет вектор $\vec{FL}$, такой что $\vec{FL} = \vec{KT}$ (то есть $FKT L$ образует параллелограмм, где $L$ - точка, дополняющая его).

2. Теперь векторы $\vec{FL}$ и $\vec{FT}$ имеют общее начало $F$. Применим правило параллелограмма: построим параллелограмм $FLVT$, где $V$ — четвертая вершина.

3. Тогда искомым вектором суммы будет диагональ $\vec{FV}$.

Разность: $\vec{KT} - \vec{FT}$.

Для векторов, имеющих общий конец $\vec{XT}$ и $\vec{YT}$, их разность $\vec{XT} - \vec{YT}$ равна вектору $\vec{XY}$.

Следовательно, $\vec{KT} - \vec{FT} = \vec{FK}$.

Ответ: Сумма: $\vec{FV}$, где $V$ — четвертая вершина параллелограмма, построенного на векторах $\vec{FL}$ (равном $\vec{KT}$) и $\vec{FT}$. Разность: $\vec{FK}$.

49. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AB = 2$, $AD = 4$. Найдите:

а) $ |\vec{OA} + \vec{OB}| $;

б) $ |\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}| $;

в) $ |\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}| $;

г) $ |\vec{AO} + \vec{DC} + \vec{OD}| $.

Дано

Прямоугольник $ABCD$.

Диагонали пересекаются в точке $O$.

$AB = 2$

$AD = 4$

Перевод в СИ:

Длины сторон представлены в безразмерных единицах. Для данной задачи, которая является чисто геометрической, перевод в систему СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны.

Найти:

а) $|\vec{OA} + \vec{OB}|$

б) $|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}|$

в) $|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}|$

г) $|\vec{AO} + \vec{DC} + \vec{OD}|$

Решение

В прямоугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны и делятся точкой пересечения $O$ пополам. Это означает, что $O$ является серединой каждой диагонали и центром симметрии прямоугольника. Отсюда следуют важные векторные равенства относительно точки $O$:

• $\vec{OA} = -\vec{OC}$
• $\vec{OB} = -\vec{OD}$
• $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = |\vec{OD}|$

Сначала найдем длину диагонали прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (угол $A$ прямой). По теореме Пифагора:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$BD^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

$BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Так как диагонали прямоугольника равны, $AC = BD = 2\sqrt{5}$.

Длина каждого из векторов от центра $O$ до вершин равна половине длины диагонали:

$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = |\vec{OD}| = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}(2\sqrt{5}) = \sqrt{5}$

а) $|\vec{OA} + \vec{OB}|$

Воспользуемся свойством векторов, исходящих из центра прямоугольника. Если $O$ — центр прямоугольника, то для любых двух вершин $A$ и $B$ верно тождество: $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{DA}$.

Докажем это тождество. Пусть $P$ — произвольная точка. Тогда $\vec{OA} = \vec{A} - \vec{O}$, $\vec{OB} = \vec{B} - \vec{O}$, $\vec{DA} = \vec{A} - \vec{D}$.

Сумма $\vec{OA} + \vec{OB} = (\vec{A} - \vec{O}) + (\vec{B} - \vec{O}) = \vec{A} + \vec{B} - 2\vec{O}$.

Так как $O$ является серединой диагонали $BD$, то радиус-вектор точки $O$ равен полусумме радиус-векторов точек $B$ и $D$: $\vec{O} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}$, откуда $2\vec{O} = \vec{B} + \vec{D}$.

Подставим $2\vec{O}$ в выражение для суммы векторов:

$\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{O} = \vec{A} + \vec{B} - (\vec{B} + \vec{D}) = \vec{A} - \vec{D}$.

Таким образом, $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{DA}$.

Длина вектора $\vec{DA}$ равна длине стороны $AD$.

$|\vec{OA} + \vec{OB}| = |\vec{DA}| = AD = 4$.

Ответ: $4$

б) $|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}|$

Используем свойство, что $\vec{OC} = -\vec{OA}$ (векторы, идущие от центра к противоположным вершинам, равны по модулю и противоположно направлены).

Тогда:

$|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}| = |(\vec{OA} + \vec{OC}) + \vec{OB}|$

Поскольку $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$ (сумма противоположных векторов от центра равна нулевому вектору), выражение упрощается:

$|\vec{0} + \vec{OB}| = |\vec{OB}|$

Мы ранее вычислили, что $|\vec{OB}| = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

в) $|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}|$

Используем свойства: $\vec{OC} = -\vec{OA}$ и $\vec{OD} = -\vec{OB}$.

Сгруппируем члены:

$|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}| = |(\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD})|$

Так как $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$ и $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$:

$|\vec{0} + \vec{0}| = |\vec{0}| = 0$

Ответ: $0$

г) $|\vec{AO} + \vec{DC} + \vec{OD}|$

Преобразуем векторы. Вектор $\vec{AO}$ противоположен вектору $\vec{OA}$, то есть $\vec{AO} = -\vec{OA}$.

Вектор $\vec{OD}$ противоположен вектору $\vec{OB}$, то есть $\vec{OD} = -\vec{OB}$.

Тогда выражение примет вид:

$|-\vec{OA} + \vec{DC} - \vec{OB}|$

Сгруппируем члены с $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$:

$|-(\vec{OA} + \vec{OB}) + \vec{DC}|$

Из пункта а) мы знаем, что $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{DA}$.

Значит, $-(\vec{OA} + \vec{OB}) = -\vec{DA}$. Вектор $-\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, то есть он равен $\vec{AD}$.

Выражение становится:

$|\vec{AD} + \vec{DC}|$

По правилу треугольника для сложения векторов, если конец первого вектора является началом второго, то их сумма — это вектор от начала первого до конца второго. Вектор $\vec{AD}$ начинается в $A$ и заканчивается в $D$. Вектор $\vec{DC}$ начинается в $D$ и заканчивается в $C$. Следовательно, их сумма $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Таким образом, нам нужно найти длину вектора $\vec{AC}$, которая равна длине диагонали $AC$.

Мы ранее вычислили, что $AC = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$

50. Дан параллелограмм MNPK, диагонали которого пересекаются в точке O, и векторы $ \vec{a} = \vec{ON} $, $ \vec{b} = \vec{OP} $. Выразите через $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ векторы $ \vec{MK} $, $ \vec{MN} $, $ \vec{PN} $, $ \vec{PK} $.

Дано:

Параллелограмм $MNPK$.

Диагонали $MP$ и $NK$ пересекаются в точке $O$.

Векторы: $\vec{a} = \vec{ON}$, $\vec{b} = \vec{OP}$.

Найти:

Выразить через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{MK}$, $\vec{MN}$, $\vec{PN}$, $\vec{PK}$.

Решение:

В параллелограмме $MNPK$ диагонали $MP$ и $NK$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам.

Это означает, что точка $O$ является серединой отрезков $MP$ и $NK$.

Исходя из этого, можем установить следующие векторные соотношения:

Поскольку $O$ - середина $NK$ и $\vec{a} = \vec{ON}$, то $\vec{OK} = -\vec{ON} = -\vec{a}$.

Поскольку $O$ - середина $MP$ и $\vec{b} = \vec{OP}$, то $\vec{OM} = -\vec{OP} = -\vec{b}$. Следовательно, $\vec{MO} = -\vec{OM} = \vec{b}$.

Теперь выразим требуемые векторы:

Вектор $\vec{MK}$

Для нахождения вектора $\vec{MK}$ воспользуемся правилом треугольника для $\triangle MOK$: $\vec{MK} = \vec{MO} + \vec{OK}$.

Подставляем ранее полученные выражения для $\vec{MO}$ и $\vec{OK}$:

$\vec{MK} = \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{MK} = \vec{b} - \vec{a}$.

Вектор $\vec{MN}$

Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом треугольника для $\triangle MON$: $\vec{MN} = \vec{MO} + \vec{ON}$.

Подставляем ранее полученное выражение для $\vec{MO}$ и данное выражение для $\vec{ON}$:

$\vec{MN} = \vec{b} + \vec{a}$.

Ответ: $\vec{MN} = \vec{a} + \vec{b}$.

Вектор $\vec{PN}$

Для нахождения вектора $\vec{PN}$ воспользуемся правилом треугольника для $\triangle PON$: $\vec{PN} = \vec{PO} + \vec{ON}$.

Вектор $\vec{PO}$ является противоположным вектору $\vec{OP}$, то есть $\vec{PO} = -\vec{OP}$. Поскольку $\vec{OP} = \vec{b}$, то $\vec{PO} = -\vec{b}$.

Подставляем полученное выражение для $\vec{PO}$ и данное выражение для $\vec{ON}$:

$\vec{PN} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{PN} = \vec{a} - \vec{b}$.

Вектор $\vec{PK}$

Для нахождения вектора $\vec{PK}$ воспользуемся правилом треугольника для $\triangle POK$: $\vec{PK} = \vec{PO} + \vec{OK}$.

Подставляем ранее полученные выражения для $\vec{PO}$ и $\vec{OK}$:

$\vec{PK} = -\vec{b} + (-\vec{a}) = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{PK} = -\vec{a} - \vec{b}$.

51. Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, в которой $AB = BC$, $\angle A = 60^\circ$, точка $K$ – середина $AD$ и векторы $\vec{a} = \vec{AK}$, $\vec{b} = \vec{AB}$. Выразите через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{CB}$, $\vec{DC}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{DB}$.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Основания $AD$ и $BC$.

$AB = BC$.

$\angle A = 60^\circ$.

Точка $K$ - середина $AD$.

Векторы $\vec{a} = \vec{AK}$, $\vec{b} = \vec{AB}$.

Найти:

Выразить через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{CB}$, $\vec{DC}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{DB}$.

Решение:

Начнем с анализа геометрических свойств трапеции. Пусть длина стороны $AB$ равна $x$.

Так как $AB = BC$ (дано), то $BC = x$.

Трапеция $ABCD$ равнобедренная, поэтому $CD = AB = x$.

Таким образом, $AB = BC = CD = x$.

Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle H = 90^\circ$):

$\angle A = 60^\circ$ (дано), $AB = x$.

Длина отрезка $AH = AB \cos(\angle A) = x \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$.

Опустим высоту $CL$ из вершины $C$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть $\angle D = \angle A = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $CDL$ ($\angle L = 90^\circ$):

$\angle D = 60^\circ$, $CD = x$.

Длина отрезка $LD = CD \cos(\angle D) = x \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$.

Четырехугольник $HBLC$ является прямоугольником, так как $BH \perp AD$, $CL \perp AD$ и $BC \parallel HL$ (часть $AD$).

Следовательно, $HL = BC = x$.

Длина основания $AD = AH + HL + LD = \frac{x}{2} + x + \frac{x}{2} = 2x$.

Точка $K$ - середина $AD$ (дано), поэтому $AK = KD = \frac{AD}{2} = \frac{2x}{2} = x$.

Таким образом, мы установили, что $AB = BC = CD = AK = KD = x$.

Даны векторы $\vec{a} = \vec{AK}$ и $\vec{b} = \vec{AB}$.

Их модули: $|\vec{a}| = AK = x$ и $|\vec{b}| = AB = x$.

CB

Вектор $\vec{BC}$ параллелен вектору $\vec{AD}$ (основания трапеции). Поскольку $BC = x$ и $AK = x$, а также векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AK}$ направлены в одну сторону, то $\vec{BC} = \vec{AK}$.

Так как $\vec{AK} = \vec{a}$ (дано), то $\vec{BC} = \vec{a}$.

Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$.

Следовательно, $\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{a}$.

Ответ: $\vec{CB} = -\vec{a}$

DC

Для нахождения вектора $\vec{DC}$ воспользуемся правилом сложения векторов (путем обхода):

$\vec{DC} = \vec{DA} + \vec{AC}$.

Сначала найдем $\vec{DA}$. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$.

Так как $K$ - середина $AD$, то $\vec{AD} = 2\vec{AK}$.

По условию $\vec{AK} = \vec{a}$, следовательно $\vec{AD} = 2\vec{a}$.

Тогда $\vec{DA} = -\vec{AD} = -2\vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{AC}$. Используем правило треугольника для $\triangle ABC$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

По условию $\vec{AB} = \vec{b}$.

Из предыдущего пункта CB мы установили, что $\vec{BC} = \vec{a}$.

Подставим эти значения: $\vec{AC} = \vec{b} + \vec{a}$.

Теперь подставим $\vec{DA}$ и $\vec{AC}$ в выражение для $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (-2\vec{a}) + (\vec{b} + \vec{a}) = -\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{DC} = \vec{b} - \vec{a}$

AC

Используем правило сложения векторов для треугольника $ABC$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

По условию $\vec{AB} = \vec{b}$.

Из анализа геометрических свойств и определения вектора $\vec{a}$ мы выяснили, что $\vec{BC} = \vec{a}$.

Следовательно, $\vec{AC} = \vec{b} + \vec{a}$.

Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

AD

Точка $K$ является серединой отрезка $AD$ (дано).

Это означает, что вектор $\vec{AD}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AK}$ и сонаправлен с ним.

По условию $\vec{AK} = \vec{a}$.

Следовательно, $\vec{AD} = 2\vec{AK} = 2\vec{a}$.

Ответ: $\vec{AD} = 2\vec{a}$

DB

Для нахождения вектора $\vec{DB}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника $DAB$:

$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$.

Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$.

Из пункта AD мы знаем, что $\vec{AD} = 2\vec{a}$.

Следовательно, $\vec{DA} = -2\vec{a}$.

По условию $\vec{AB} = \vec{b}$.

Подставим эти значения:

$\vec{DB} = -2\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{DB} = \vec{b} - 2\vec{a}$