Страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называется произведением вектора на не равное нулю число?

2. Чему равно произведение нулевого вектора на любое число и любого вектора на число 0?

3. Запишите формулами свойства умножения векторов на числа.

4. Сформулируйте критерий коллинеарности двух векторов.

1. Что называется произведением вектора на не равное нулю число? Произведением вектора $\vec{a}$ на не равное нулю число $k$ называется вектор $\vec{b}$, который обладает следующими свойствами:
1. Его длина (модуль) равна произведению модуля вектора $\vec{a}$ на модуль числа $k$, то есть $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
2. Его направление совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$.
Ответ:

2. Чему равно произведение нулевого вектора на любое число и любого вектора на число 0? Произведение нулевого вектора $\vec{0}$ на любое число $k$ равно нулевому вектору: $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.
Произведение любого вектора $\vec{a}$ на число $0$ также равно нулевому вектору: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$.
Ответ:

3. Запишите формулами свойства умножения векторов на числа. Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - произвольные векторы, а $k$ и $m$ - произвольные числа. Свойства умножения вектора на число:
1. Сочетательный закон: $k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}$
2. Распределительный закон (относительно сложения векторов): $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
3. Распределительный закон (относительно сложения чисел): $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$
4. Свойство умножения на единицу: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$
5. Свойство умножения на ноль: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$
6. Свойство умножения на минус единицу: $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$
Ответ:

4. Сформулируйте критерий коллинеарности двух векторов. Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Критерий коллинеарности двух ненулевых векторов: два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{b} = k\vec{a}$.
Если один из векторов является нулевым, то он считается коллинеарным любому другому вектору.
Ответ:

57. Докажите, что:

а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

в) $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$

Дано:

Даны произвольные векторы $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, а также произвольный скаляр $x$.

Используются стандартные определения операций над векторами: умножение вектора на скаляр $(\lambda \vec{v} = (\lambda v_x, \lambda v_y, \lambda v_z))$ и вычитание векторов $(\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z))$.

Найти:

Доказать следующие векторные тождества:

• а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

• б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

• в) $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$

Решение:

а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x, a_y, a_z)$.

Согласно определению умножения вектора на скаляр, произведение скаляра $\lambda$ на вектор $\vec{a}$ определяется как вектор $\lambda \vec{a} = (\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_z)$.

Подставим $\lambda = 1$ в это определение:

$1 \cdot \vec{a} = (1 \cdot a_x, 1 \cdot a_y, 1 \cdot a_z)$

Поскольку $1 \cdot a_x = a_x$, $1 \cdot a_y = a_y$, и $1 \cdot a_z = a_z$, получаем:

$1 \cdot \vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$

Вектор $(a_x, a_y, a_z)$ это и есть вектор $\vec{a}$.

Таким образом, $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

Ответ: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ доказано.

б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x, a_y, a_z)$.

Используя определение умножения вектора на скаляр с $\lambda = -1$:

$(-1) \cdot \vec{a} = ((-1) \cdot a_x, (-1) \cdot a_y, (-1) \cdot a_z)$

Что равно:

$(-1) \cdot \vec{a} = (-a_x, -a_y, -a_z)$

По определению вектора, противоположного вектору $\vec{a}$ (обозначаемого как $-\vec{a}$), его координаты являются противоположными координатам $\vec{a}$:

$-\vec{a} = (-a_x, -a_y, -a_z)$

Сравнивая полученные выражения, видно, что $(-1) \cdot \vec{a}$ и $-\vec{a}$ имеют одинаковые координаты.

Следовательно, $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Ответ: $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ доказано.

в) $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют координаты $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ соответственно, и $x$ — произвольный скаляр.

Рассмотрим левую часть равенства $x \cdot (\vec{a} - \vec{b})$:

Сначала найдем разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ по определению вычитания векторов:

$\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)$

Теперь умножим этот вектор на скаляр $x$ по определению умножения вектора на скаляр:

$x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) = (x(a_x - b_x), x(a_y - b_y), x(a_z - b_z))$

Используя дистрибутивное свойство умножения чисел относительно вычитания ($c(d-e) = cd - ce$), раскрываем скобки для каждой координаты:

$x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (xa_x - xb_x, xa_y - xb_y, xa_z - xb_z) \quad (*)$

Рассмотрим правую часть равенства $x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$:

Сначала найдем произведения скаляра на векторы $x \cdot \vec{a}$ и $x \cdot \vec{b}$:

$x \cdot \vec{a} = (xa_x, xa_y, xa_z)$

$x \cdot \vec{b} = (xb_x, xb_y, xb_z)$

Теперь выполним вычитание полученных векторов:

$x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b} = (xa_x, xa_y, xa_z) - (xb_x, xb_y, xb_z)$

По определению вычитания векторов:

$x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b} = (xa_x - xb_x, xa_y - xb_y, xa_z - xb_z) \quad (**)$

Сравнивая выражения $(*)$ и $(**)$, мы видим, что они тождественны, то есть их соответствующие координаты равны.

Таким образом, $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$.

Ответ: $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$ доказано.

58. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны. Сравните длины векторов $\vec{a}$ и $k\vec{b}$, если:

a) $k = -1$;

б) $k = 0,9$.

Дано:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $\vec{a} = \vec{b}$.
Из определения равенства векторов следует, что их длины равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Найти:

Сравнить длины векторов $|\vec{a}|$ и $|k\vec{b}|$.

Решение:

Для сравнения длин векторов $|\vec{a}|$ и $|k\vec{b}|$ воспользуемся свойством длины вектора, умноженного на скаляр: $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$.
Применительно к нашему случаю, длина вектора $k\vec{b}$ будет равна $|k\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{b}|$.
Поскольку дано, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, мы можем заменить $|\vec{b}|$ на $|\vec{a}|$ в выражении для длины $k\vec{b}$.
Таким образом, задача сводится к сравнению $|\vec{a}|$ и $|k| \cdot |\vec{a}|$.
Это эквивалентно сравнению $1$ и $|k|$ (при условии, что $|\vec{a}| \ne 0$).

а) $k = -1$

Подставим значение $k = -1$ в выражение для длины вектора $k\vec{b}$: $|k\vec{b}| = |-1| \cdot |\vec{b}|$.
Так как $|-1| = 1$, получаем $|k\vec{b}| = 1 \cdot |\vec{b}| = |\vec{b}|$.
По условию задачи, $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, $|k\vec{b}| = |\vec{a}|$.

Ответ: Длины векторов $\vec{a}$ и $k\vec{b}$ равны.

б) $k = 0,9$

Подставим значение $k = 0,9$ в выражение для длины вектора $k\vec{b}$: $|k\vec{b}| = |0,9| \cdot |\vec{b}|$.
Так как $|0,9| = 0,9$, получаем $|k\vec{b}| = 0,9 \cdot |\vec{b}|$.
По условию задачи, $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, $|k\vec{b}| = 0,9 \cdot |\vec{a}|$.
Теперь сравним $|\vec{a}|$ и $0,9 \cdot |\vec{a}|$.
Поскольку коэффициент $0,9$ меньше $1$, то $0,9 \cdot |\vec{a}|$ будет меньше $|\vec{a}|$ (при условии, что $|\vec{a}| > 0$).
То есть, $|\vec{a}| > |k\vec{b}|$.

Ответ: Длина вектора $\vec{a}$ больше длины вектора $k\vec{b}$.

59. Дан треугольник $ABC$, $M$ и $K$ – середины его сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Докажите, что $\overrightarrow{MK} = 0,5\overrightarrow{AC}$.

Дано:

Дан треугольник $ABC$.
Точка $M$ – середина стороны $AB$.
Точка $K$ – середина стороны $BC$.

Найти:

Доказать, что $\vec{MK} = 0,5\vec{AC}$.

Решение:

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом нахождения радиус-вектора середины отрезка. Пусть $O$ – произвольная точка в пространстве, которую мы выберем в качестве начала координат. Тогда радиус-векторы точек $A$, $B$, $C$, $M$, $K$ будут обозначаться как $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$, $\vec{OM}$, $\vec{OK}$ соответственно.

Так как $M$ является серединой отрезка $AB$, ее радиус-вектор можно выразить как:
$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

Аналогично, так как $K$ является серединой отрезка $BC$, ее радиус-вектор равен:
$\vec{OK} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$

Вектор $\vec{MK}$ можно выразить как разность радиус-векторов конечной и начальной точек:
$\vec{MK} = \vec{OK} - \vec{OM}$

Подставим в это выражение полученные ранее формулы для $\vec{OM}$ и $\vec{OK}$:
$\vec{MK} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} - \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

Приведем члены к общему знаменателю и упростим выражение:
$\vec{MK} = \frac{(\vec{OB} + \vec{OC}) - (\vec{OA} + \vec{OB})}{2}$
$\vec{MK} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA} - \vec{OB}}{2}$

Сократим противоположные векторы $\vec{OB}$ и $-\vec{OB}$:
$\vec{MK} = \frac{\vec{OC} - \vec{OA}}{2}$

Мы знаем, что вектор $\vec{AC}$ также может быть выражен как разность радиус-векторов конечной и начальной точек:
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

Подставив это в предыдущее выражение, получаем:
$\vec{MK} = \frac{\vec{AC}}{2}$
или
$\vec{MK} = 0,5\vec{AC}$

Таким образом, доказано, что вектор $\vec{MK}$ равен половине вектора $\vec{AC}$. Это является векторной формулировкой теоремы о средней линии треугольника, которая утверждает, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Ответ:

Доказано, что $\vec{MK} = 0,5\vec{AC}$.

60. Начертите неколлинеарные векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, как на рисунке 59. Постройте вектор, равный:

а) $ 2\vec{a} + \vec{b} $

б) $ \vec{a} - 0,5\vec{b} $

в) $ -\vec{a} - \vec{b} $

г) $ \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b} $

Рисунок 59

Дано:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы на сетке, как показано на рисунке 59.
Вектор $\vec{a}$ направлен горизонтально вправо и имеет длину, равную 3 единицам сетки.
Вектор $\vec{b}$ направлен вертикально вниз и имеет длину, равную 3 единицам сетки.

Найти:

Построить векторы: а) $2\vec{a} + \vec{b}$; б) $\vec{a} - 0.5\vec{b}$; в) $-\vec{a} - \vec{b}$; г) $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$.

Решение:

Для построения требуемых векторов будем использовать правило треугольника (правило "начала-конца") для сложения векторов и умножение вектора на скаляр. Примем сторону одной клетки сетки за единичную длину.
Первым шагом необходимо начертить исходные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на сетке в соответствии с рисунком 59. Вектор $\vec{a}$ изображается как горизонтальная стрелка длиной 3 клетки вправо, а вектор $\vec{b}$ как вертикальная стрелка длиной 3 клетки вниз.

а) $2\vec{a} + \vec{b}$
Для построения вектора $2\vec{a} + \vec{b}$ необходимо:
1. От любой начальной точки начертить вектор $2\vec{a}$, который будет вдвое длиннее вектора $\vec{a}$ и иметь то же направление. То есть, это будет вектор длиной 6 единиц сетки, направленный горизонтально вправо.
2. От конца вектора $2\vec{a}$ начертить вектор $\vec{b}$. Это будет вектор длиной 3 единицы сетки, направленный вертикально вниз.
3. Искомый вектор $2\vec{a} + \vec{b}$ будет вектором, проведенным от начальной точки первого вектора ($2\vec{a}$) до конечной точки второго вектора ($\vec{b}$). Его компоненты будут $(6, -3)$ относительно начальной точки.

Ответ: Вектор $2\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(6, -3)$ и строится как вектор от начала $2\vec{a}$ до конца $\vec{b}$ (приложенного к концу $2\vec{a}$).

б) $\vec{a} - 0.5\vec{b}$
Вектор $\vec{a} - 0.5\vec{b}$ можно представить как $\vec{a} + (-0.5\vec{b})$. Для его построения:
1. От любой начальной точки начертить вектор $\vec{a}$, который имеет длину 3 единицы сетки и направлен горизонтально вправо.
2. От конца вектора $\vec{a}$ начертить вектор $-0.5\vec{b}$. Вектор $-0.5\vec{b}$ будет иметь половину длины вектора $\vec{b}$ (т.е. $0.5 \times 3 = 1.5$ единицы сетки) и противоположное направление. Так как $\vec{b}$ направлен вниз, $-0.5\vec{b}$ будет направлен вертикально вверх.
3. Искомый вектор $\vec{a} - 0.5\vec{b}$ будет вектором, проведенным от начальной точки первого вектора ($\vec{a}$) до конечной точки второго вектора ($-0.5\vec{b}$). Его компоненты будут $(3, 1.5)$ относительно начальной точки.

Ответ: Вектор $\vec{a} - 0.5\vec{b}$ имеет компоненты $(3, 1.5)$ и строится как вектор от начала $\vec{a}$ до конца $-0.5\vec{b}$ (приложенного к концу $\vec{a}$).

в) $-\vec{a} - \vec{b}$
Вектор $-\vec{a} - \vec{b}$ можно представить как $(-\vec{a}) + (-\vec{b})$. Для его построения:
1. От любой начальной точки начертить вектор $-\vec{a}$. Он будет иметь ту же длину, что и $\vec{a}$ (3 единицы сетки), но противоположное направление, то есть горизонтально влево.
2. От конца вектора $-\vec{a}$ начертить вектор $-\vec{b}$. Он будет иметь ту же длину, что и $\vec{b}$ (3 единицы сетки), но противоположное направление, то есть вертикально вверх.
3. Искомый вектор $-\vec{a} - \vec{b}$ будет вектором, проведенным от начальной точки первого вектора ($-\vec{a}$) до конечной точки второго вектора ($-\vec{b}$). Его компоненты будут $(-3, 3)$ относительно начальной точки.

Ответ: Вектор $-\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(-3, 3)$ и строится как вектор от начала $-\vec{a}$ до конца $-\vec{b}$ (приложенного к концу $-\vec{a}$).

г) $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$
Для построения вектора $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$ необходимо:
1. От любой начальной точки начертить вектор $\frac{4}{5}\vec{a}$. Его длина будет составлять $\frac{4}{5}$ от длины $\vec{a}$. Длина $\vec{a}$ равна 3 единицам сетки, следовательно, длина $\frac{4}{5}\vec{a}$ будет $\frac{4}{5} \times 3 = \frac{12}{5} = 2.4$ единицы сетки, направлен горизонтально вправо.
2. От конца вектора $\frac{4}{5}\vec{a}$ начертить вектор $\frac{5}{4}\vec{b}$. Его длина будет составлять $\frac{5}{4}$ от длины $\vec{b}$. Длина $\vec{b}$ равна 3 единицам сетки, следовательно, длина $\frac{5}{4}\vec{b}$ будет $\frac{5}{4} \times 3 = \frac{15}{4} = 3.75$ единицы сетки, направлен вертикально вниз.
3. Искомый вектор $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$ будет вектором, проведенным от начальной точки первого вектора ($\frac{4}{5}\vec{a}$) до конечной точки второго вектора ($\frac{5}{4}\vec{b}$). Его компоненты будут $(2.4, -3.75)$ относительно начальной точки.

Ответ: Вектор $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$ имеет компоненты $(2.4, -3.75)$ и строится как вектор от начала $\frac{4}{5}\vec{a}$ до конца $\frac{5}{4}\vec{b}$ (приложенного к концу $\frac{4}{5}\vec{a}$).