Номер 59, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

59. Дан треугольник $ABC$, $M$ и $K$ – середины его сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Докажите, что $\overrightarrow{MK} = 0,5\overrightarrow{AC}$.

Дано:

Дан треугольник $ABC$.
Точка $M$ – середина стороны $AB$.
Точка $K$ – середина стороны $BC$.

Найти:

Доказать, что $\vec{MK} = 0,5\vec{AC}$.

Решение:

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом нахождения радиус-вектора середины отрезка. Пусть $O$ – произвольная точка в пространстве, которую мы выберем в качестве начала координат. Тогда радиус-векторы точек $A$, $B$, $C$, $M$, $K$ будут обозначаться как $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$, $\vec{OM}$, $\vec{OK}$ соответственно.

Так как $M$ является серединой отрезка $AB$, ее радиус-вектор можно выразить как:
$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

Аналогично, так как $K$ является серединой отрезка $BC$, ее радиус-вектор равен:
$\vec{OK} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$

Вектор $\vec{MK}$ можно выразить как разность радиус-векторов конечной и начальной точек:
$\vec{MK} = \vec{OK} - \vec{OM}$

Подставим в это выражение полученные ранее формулы для $\vec{OM}$ и $\vec{OK}$:
$\vec{MK} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} - \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

Приведем члены к общему знаменателю и упростим выражение:
$\vec{MK} = \frac{(\vec{OB} + \vec{OC}) - (\vec{OA} + \vec{OB})}{2}$
$\vec{MK} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA} - \vec{OB}}{2}$

Сократим противоположные векторы $\vec{OB}$ и $-\vec{OB}$:
$\vec{MK} = \frac{\vec{OC} - \vec{OA}}{2}$

Мы знаем, что вектор $\vec{AC}$ также может быть выражен как разность радиус-векторов конечной и начальной точек:
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

Подставив это в предыдущее выражение, получаем:
$\vec{MK} = \frac{\vec{AC}}{2}$
или
$\vec{MK} = 0,5\vec{AC}$

Таким образом, доказано, что вектор $\vec{MK}$ равен половине вектора $\vec{AC}$. Это является векторной формулировкой теоремы о средней линии треугольника, которая утверждает, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Ответ:

Доказано, что $\vec{MK} = 0,5\vec{AC}$.