Номер 56, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

56. Дана окружность с центром $O$ и радиусом 2 см и проведены ее радиусы $OA, OB$ и $OC$, причем $\angle AOB = \angle AOC = \angle BOC$.

Найдите $|\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}|.$

Окружность с центром $O$ и радиусом $R = 2 \text{ см}$.

Проведены радиусы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$.

Углы между радиусами: $\angle AOB = \angle AOC = \angle BOC$.

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

$|\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}|$

По условию задачи, углы между радиусами $\angle AOB$, $\angle AOC$ и $\angle BOC$ равны. Сумма этих углов вокруг центра $O$ составляет полный круг, то есть $360^\circ$.

Следовательно, каждый из углов равен:

$\angle AOB = \angle AOC = \angle BOC = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

Векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ являются радиус-векторами, проведенными из центра окружности к точкам на ней, и имеют одинаковую длину, равную радиусу $R$. Поскольку углы между этими векторами попарно равны $120^\circ$, точки $A$, $B$, $C$ образуют вершины правильного треугольника, вписанного в окружность с центром $O$.

Известно, что для радиус-векторов, проведенных из центра правильного многоугольника к его вершинам, их векторная сумма равна нулевому вектору. В случае правильного треугольника это означает:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$

Из этого векторного равенства мы можем выразить сумму $\vec{OA} + \vec{OB}$:

$\vec{OA} + \vec{OB} = -\vec{OC}$

Теперь подставим это выражение в искомое значение, которое требуется найти:

$|\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}| = |(-\vec{OC}) - \vec{OC}|$

$|\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}| = |-2\vec{OC}|$

Модуль произведения скаляра на вектор равен произведению модуля скаляра на модуль вектора:

$|-2\vec{OC}| = |-2| \cdot |\vec{OC}|$

$|-2| \cdot |\vec{OC}| = 2 \cdot |\vec{OC}|$

Вектор $\vec{OC}$ является радиус-вектором, поэтому его модуль равен радиусу окружности $R$. Используем значение радиуса в системе СИ:

$|\vec{OC}| = R = 0.02 \text{ м}$

Подставляем значение $R$ в выражение:

$2 \cdot |\vec{OC}| = 2 \cdot 0.02 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

Модуль вектора равен $0.04 \text{ м}$.