Номер 61, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

61. Известно, что один и тот же вектор параллелен вектору, равному как сумме, так и разности двух других векторов. Постройте такие векторы.

Дано:

Пусть $\vec{c}$ - искомый вектор, а $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - два других вектора.
Согласно условию задачи, вектор $\vec{c}$ параллелен вектору, равному сумме $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $\vec{c} \parallel (\vec{a} + \vec{b})$.
Также вектор $\vec{c}$ параллелен вектору, равному разности $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $\vec{c} \parallel (\vec{a} - \vec{b})$.

Найти:

Построить такие векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, которые удовлетворяют заданным условиям.

Решение:

Из условия параллельности векторов $\vec{c} \parallel (\vec{a} + \vec{b})$ следует, что существует ненулевой скаляр $k_1$ такой, что:
$\vec{a} + \vec{b} = k_1 \vec{c}$ $(1)$
Аналогично, из условия $\vec{c} \parallel (\vec{a} - \vec{b})$ следует, что существует ненулевой скаляр $k_2$ такой, что:
$\vec{a} - \vec{b} = k_2 \vec{c}$ $(2)$
(Мы предполагаем, что $\vec{c} \neq \vec{0}$, $\vec{a}+\vec{b} \neq \vec{0}$ и $\vec{a}-\vec{b} \neq \vec{0}$, поскольку параллельность с нулевым вектором неоднозначна или приводит к тривиальному случаю, когда все векторы нулевые.)

Сложим уравнения $(1)$ и $(2)$:
$(\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{b}) = k_1 \vec{c} + k_2 \vec{c}$
$2\vec{a} = (k_1 + k_2)\vec{c}$ $(3)$

Вычтем уравнение $(2)$ из уравнения $(1)$:
$(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) = k_1 \vec{c} - k_2 \vec{c}$
$2\vec{b} = (k_1 - k_2)\vec{c}$ $(4)$

Из уравнения $(3)$ следует, что вектор $\vec{a}$ параллелен вектору $\vec{c}$ (если $k_1 + k_2 \neq 0$). Если $k_1 + k_2 = 0$, то $2\vec{a} = \vec{0}$, что означает $\vec{a} = \vec{0}$.
Из уравнения $(4)$ следует, что вектор $\vec{b}$ параллелен вектору $\vec{c}$ (если $k_1 - k_2 \neq 0$). Если $k_1 - k_2 = 0$, то $2\vec{b} = \vec{0}$, что означает $\vec{b} = \vec{0}$.

Таким образом, для того чтобы условия задачи выполнялись для ненулевых векторов, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ должны быть коллинеарными (параллельными друг другу).
Рассмотрим случаи с нулевыми векторами:
1. Если $\vec{a} = \vec{0}$:
Тогда из $(1)$ получаем $\vec{b} = k_1 \vec{c}$, и из $(2)$ получаем $-\vec{b} = k_2 \vec{c}$. Следовательно, $k_2 = -k_1$. В этом случае $\vec{b}$ параллелен $\vec{c}$. Пример: $\vec{a} = (0,0,0)$, $\vec{b} = (2,0,0)$, $\vec{c} = (1,0,0)$.
2. Если $\vec{b} = \vec{0}$:
Тогда из $(1)$ получаем $\vec{a} = k_1 \vec{c}$, и из $(2)$ получаем $\vec{a} = k_2 \vec{c}$. Следовательно, $k_1 = k_2$. В этом случае $\vec{a}$ параллелен $\vec{c}$. Пример: $\vec{a} = (2,0,0)$, $\vec{b} = (0,0,0)$, $\vec{c} = (1,0,0)$.
3. Если $\vec{a} = \vec{0}$ и $\vec{b} = \vec{0}$:
Тогда $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ и $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$. В этом случае $\vec{c}$ должен быть параллелен нулевому вектору, что обычно интерпретируется как $\vec{c} = \vec{0}$. Это тривиальный случай, когда все векторы нулевые.

Наиболее общий случай, при котором векторы ненулевые, это когда $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Построим пример таких векторов. Пусть все векторы лежат на оси X.
Выберем вектор $\vec{c}$ как единичный вектор вдоль оси X:
$\vec{c} = (1, 0, 0)$
Выберем векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также вдоль оси X, такие, чтобы их сумма и разность не были нулевыми (то есть $\vec{a} \neq -\vec{b}$ и $\vec{a} \neq \vec{b}$).
Пусть $\vec{a} = (3, 0, 0)$
Пусть $\vec{b} = (1, 0, 0)$
Проверим условия:
1. Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = (3, 0, 0) + (1, 0, 0) = (4, 0, 0)$
Вектор $(4, 0, 0)$ параллелен вектору $\vec{c}=(1, 0, 0)$, так как $(4, 0, 0) = 4 \cdot (1, 0, 0)$.
2. Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} - \vec{b} = (3, 0, 0) - (1, 0, 0) = (2, 0, 0)$
Вектор $(2, 0, 0)$ параллелен вектору $\vec{c}=(1, 0, 0)$, так как $(2, 0, 0) = 2 \cdot (1, 0, 0)$.
Оба условия выполняются.

Ответ:

Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ должны быть коллинеарны. Пример таких векторов:
$\vec{a} = (3, 0, 0)$
$\vec{b} = (1, 0, 0)$
$\vec{c} = (1, 0, 0)$