Номер 62, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

62. Известно, что $\vec{a} = \vec{x} + \vec{y}$, $\vec{b} = \vec{x} - \vec{y}$. Выразите через $\vec{x}$ и $\vec{y}$ векторы:

а) $\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$;

б) $4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$;

в) $-0,3\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Дано:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выражены через векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ следующим образом:

$\vec{a} = \vec{x} + \vec{y}$
$\vec{b} = \vec{x} - \vec{y}$

Найти:

Выразить через $\vec{x}$ и $\vec{y}$ следующие векторы:

а) $\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$
б) $4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$
в) $-0.3\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

Решение:

а) $\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$

Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в заданное векторное выражение:

$\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) + 3(\vec{x} - \vec{y})$

Раскроем скобки, умножая скаляры на каждый компонент внутри скобок:

$= \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} + 3\vec{x} - 3\vec{y}$

Сгруппируем члены, содержащие $\vec{x}$, и члены, содержащие $\vec{y}$:

$= (\frac{1}{2} + 3)\vec{x} + (\frac{1}{2} - 3)\vec{y}$

Приведем коэффициенты к общему знаменателю для выполнения сложения и вычитания:

$= (\frac{1}{2} + \frac{6}{2})\vec{x} + (\frac{1}{2} - \frac{6}{2})\vec{y}$

Выполним арифметические операции с коэффициентами:

$= \frac{7}{2}\vec{x} - \frac{5}{2}\vec{y}$

Ответ: $\frac{7}{2}\vec{x} - \frac{5}{2}\vec{y}$

б) $4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в заданное векторное выражение:

$4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} = 4(\vec{x} + \vec{y}) - \frac{2}{3}(\vec{x} - \vec{y})$

Раскроем скобки:

$= 4\vec{x} + 4\vec{y} - \frac{2}{3}\vec{x} + \frac{2}{3}\vec{y}$

Сгруппируем члены, содержащие $\vec{x}$, и члены, содержащие $\vec{y}$:

$= (4 - \frac{2}{3})\vec{x} + (4 + \frac{2}{3})\vec{y}$

Приведем коэффициенты к общему знаменателю:

$= (\frac{12}{3} - \frac{2}{3})\vec{x} + (\frac{12}{3} + \frac{2}{3})\vec{y}$

Выполним арифметические операции:

$= \frac{10}{3}\vec{x} + \frac{14}{3}\vec{y}$

Ответ: $\frac{10}{3}\vec{x} + \frac{14}{3}\vec{y}$

в) $-0.3\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

Для удобства вычислений переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-0.3 = -\frac{3}{10}$.

Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в заданное векторное выражение:

$-0.3\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} = -\frac{3}{10}(\vec{x} + \vec{y}) - \frac{1}{4}(\vec{x} - \vec{y})$

Раскроем скобки:

$= -\frac{3}{10}\vec{x} - \frac{3}{10}\vec{y} - \frac{1}{4}\vec{x} + \frac{1}{4}\vec{y}$

Сгруппируем члены, содержащие $\vec{x}$, и члены, содержащие $\vec{y}$:

$= (-\frac{3}{10} - \frac{1}{4})\vec{x} + (-\frac{3}{10} + \frac{1}{4})\vec{y}$

Приведем коэффициенты к общему знаменателю (20) для выполнения сложения и вычитания:

Для коэффициента при $\vec{x}$: $-\frac{3}{10} - \frac{1}{4} = -\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{6}{20} - \frac{5}{20} = -\frac{11}{20}$

Для коэффициента при $\vec{y}$: $-\frac{3}{10} + \frac{1}{4} = -\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{6}{20} + \frac{5}{20} = -\frac{1}{20}$

Таким образом, окончательное выражение будет:

$= -\frac{11}{20}\vec{x} - \frac{1}{20}\vec{y}$

Ответ: $-\frac{11}{20}\vec{x} - \frac{1}{20}\vec{y}$