Номер 68, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

68. Дан четырехугольник ABCD и точки M и N - середины его сторон AB и CD соответственно. Докажите, что $\vec{MN} = 0,5(\vec{BC} + \vec{AD})$.

Дано

Дан четырехугольник $ABCD$.
Точка $M$ — середина стороны $AB$.
Точка $N$ — середина стороны $CD$.

Найти:

Доказать, что $\overrightarrow{MN} = 0.5(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$.

Решение

Для доказательства воспользуемся свойством радиус-вектора середины отрезка и правилом вычитания векторов. Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве, которую мы выберем в качестве начала координат для наших векторов. Тогда радиус-векторы точек $A, B, C, D, M, N$ будут обозначаться как $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ соответственно.

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $AB$, ее радиус-вектор может быть выражен как среднее арифметическое радиус-векторов точек $A$ и $B$:
$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$

Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой отрезка $CD$, ее радиус-вектор равен:
$\overrightarrow{ON} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2}$

Вектор $\overrightarrow{MN}$ можно представить как разность радиус-вектора конечной точки $N$ и радиус-вектора начальной точки $M$:
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$

Подставим выражения для $\overrightarrow{OM}$ и $\overrightarrow{ON}$ в это уравнение:
$\overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} - \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$

Объединим слагаемые с общим знаменателем:
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB})$

Перегруппируем члены в скобках таким образом, чтобы получить векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$. Вектор $\overrightarrow{BC}$ равен $\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$, а вектор $\overrightarrow{AD}$ равен $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}$.
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}))$

Заменим разности радиус-векторов соответствующими векторами:
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$

Таким образом, мы доказали требуемое соотношение.

Ответ:

Доказано, что $\overrightarrow{MN} = 0.5(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$.