Номер 70, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

70. В треугольнике ABC точки M, N и K – середины его сторон, O – произвольная точка плоскости. Докажите, что $\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точки $M, N, K$ - середины сторон треугольника $ABC$.

Точка $O$ - произвольная точка плоскости.

Найти:

Доказать, что $\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Решение:

Пусть $M$ - середина стороны $BC$, $N$ - середина стороны $AC$, $K$ - середина стороны $AB$.

Согласно формуле вектора середины отрезка, для любой точки $O$ на плоскости вектор, идущий из $O$ в середину отрезка, равен полусумме векторов, идущих из $O$ в концы отрезка.

Таким образом, мы можем выразить векторы $\vec{OM}$, $\vec{ON}$ и $\vec{OK}$ через векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$:

Для точки $M$, являющейся серединой отрезка $BC$:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$

Для точки $N$, являющейся серединой отрезка $AC$:

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Для точки $K$, являющейся серединой отрезка $AB$:

$\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Теперь сложим левую часть доказываемого равенства, подставив эти выражения:

$\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:

$\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OA} + \vec{OC} + \vec{OA} + \vec{OB})$

Сгруппируем и сложим одинаковые векторы:

$\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \frac{1}{2}(2\vec{OA} + 2\vec{OB} + 2\vec{OC})$

Разделим каждый член на 2:

$\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства равна правой части.

Ответ:

Доказано.