Номер 75, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

75. В параллелограмме ABCD точка M делит диагональ AC в отношении 4:5, считая от вершины A. Разложите вектор $\overrightarrow{AM}$ по векторам:
а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$;
б) $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{AD}$.

Дано

Параллелограмм $ABCD$.

Точка $M$ лежит на диагонали $AC$.

$AM : MC = 4 : 5$.

Найти:

а) Разложить вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

б) Разложить вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$.

Решение

Так как точка $M$ делит диагональ $AC$ в отношении $4:5$, считая от вершины $A$, то вектор $\vec{AM}$ можно выразить через вектор $\vec{AC}$ следующим образом:
$\vec{AM} = \frac{4}{4+5} \vec{AC} = \frac{4}{9} \vec{AC}$

а) Разложите вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$
В параллелограмме $ABCD$ вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить через векторы, исходящие из той же вершины $A$, как сумму векторов смежных сторон:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$
Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, противоположные стороны равны и параллельны, то $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Подставим это в выражение для $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$
Теперь подставим это выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{AM}$:
$\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AC} = \frac{4}{9} (\vec{AB} + \vec{AD})$
Раскроем скобки:
$\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AB} + \frac{4}{9} \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AB} + \frac{4}{9} \vec{AD}$

б) Разложите вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$
Мы уже знаем, что $\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AB} + \frac{4}{9} \vec{AD}$.
Нам нужно выразить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$.
Рассмотрим треугольник $ABD$. По правилу треугольника, $\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB}$.
Вектор $\vec{DB}$ противоположен вектору $\vec{BD}$, то есть $\vec{DB} = -\vec{BD}$.
Следовательно:
$\vec{AB} = \vec{AD} - \vec{BD}$
Теперь подставим это выражение для $\vec{AB}$ в полученное в пункте а) разложение для $\vec{AM}$:
$\vec{AM} = \frac{4}{9} (\vec{AD} - \vec{BD}) + \frac{4}{9} \vec{AD}$
Раскроем скобки:
$\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AD} - \frac{4}{9} \vec{BD} + \frac{4}{9} \vec{AD}$
Сложим подобные члены:
$\vec{AM} = (\frac{4}{9} + \frac{4}{9}) \vec{AD} - \frac{4}{9} \vec{BD}$
$\vec{AM} = \frac{8}{9} \vec{AD} - \frac{4}{9} \vec{BD}$

Ответ: $\vec{AM} = -\frac{4}{9} \vec{BD} + \frac{8}{9} \vec{AD}$