Номер 76, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

76. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, M – середина стороны AB. Выразите через векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ вектор:
а) $\vec{MO}$;
б) $\vec{CM}$.

Дано

Параллелограмм $ABCD$. Диагонали пересекаются в точке $O$. $M$ - середина стороны $AB$.

Найти

Выразить через векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ векторы:

а) $\vec{MO}$

б) $\vec{CM}$

Решение

а) $\vec{MO}$

Вектор $\vec{OM}$ является вектором, идущим из начала координат $O$ в середину отрезка $AB$. По формуле для вектора, идущего в середину отрезка, имеем:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Поскольку $\vec{MO} = -\vec{OM}$, получаем:

$\vec{MO} = -\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

$\vec{MO} = -\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB}$

Ответ: $\vec{MO} = -\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB}$

б) $\vec{CM}$

Вектор $\vec{CM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{CO} + \vec{OM}$.

Так как $O$ является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, она делит диагонали пополам. Следовательно, $O$ - середина отрезка $AC$.

Это означает, что $\vec{OC} = -\vec{OA}$.

Тогда $\vec{CO} = -\vec{OC} = -(-\vec{OA}) = \vec{OA}$.

Для вектора $\vec{OM}$ мы уже определили в пункте а):

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Теперь подставим выражения для $\vec{CO}$ и $\vec{OM}$ в формулу для $\vec{CM}$:

$\vec{CM} = \vec{CO} + \vec{OM}$

$\vec{CM} = \vec{OA} + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

$\vec{CM} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{CM} = \left(1 + \frac{1}{2}\right)\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{CM} = \frac{3}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

Ответ: $\vec{CM} = \frac{3}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$