Номер 81, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

81. В параллелограмме $ABCD$ точки $N, K, P$ и $M$ принадлежат сторонам $CD, AB, BC$ и $AD$ соответственно, причем $\frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MD} = 0,4$, $\frac{BP}{PC} = \frac{DN}{NC} = \frac{3}{7}$. Докажите, что отрезки $MK$ и $PN$ параллельны.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.
Точки $N, K, P, M$ принадлежат сторонам $CD, AB, BC, AD$ соответственно.
$\frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MD} = 0.4$
$\frac{BP}{PC} = \frac{DN}{NC} = \frac{3}{7}$

Найти:

Доказать, что отрезки $MK$ и $PN$ параллельны.

Решение:

Для доказательства параллельности отрезков $MK$ и $PN$ воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

В параллелограмме $ABCD$ имеем: $\vec{A} = \vec{0}$ (начало координат)
$\vec{B} = \vec{a}$
$\vec{D} = \vec{b}$
$\vec{C} = \vec{A} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{0} + \vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{b}$

Выразим векторы, соответствующие точкам $M$ и $K$:
1. Точка $K$ лежит на стороне $AB$. Дано $\frac{AK}{KB} = 0.4 = \frac{2}{5}$.
Это означает, что $AK = \frac{2}{5} KB$.
Так как $AB = AK + KB$, то $AB = AK + \frac{5}{2} AK = \frac{7}{2} AK$.
Следовательно, $AK = \frac{2}{7} AB$.
Вектор $\vec{AK} = \frac{2}{7} \vec{AB} = \frac{2}{7} \vec{a}$.
Таким образом, $\vec{K} = \frac{2}{7} \vec{a}$.

2. Точка $M$ лежит на стороне $AD$. Дано $\frac{AM}{MD} = 0.4 = \frac{2}{5}$.
Это означает, что $AM = \frac{2}{5} MD$.
Так как $AD = AM + MD$, то $AD = AM + \frac{5}{2} AM = \frac{7}{2} AM$.
Следовательно, $AM = \frac{2}{7} AD$.
Вектор $\vec{AM} = \frac{2}{7} \vec{AD} = \frac{2}{7} \vec{b}$.
Таким образом, $\vec{M} = \frac{2}{7} \vec{b}$.

Теперь найдем вектор $\vec{MK}$: $\vec{MK} = \vec{K} - \vec{M} = \frac{2}{7} \vec{a} - \frac{2}{7} \vec{b} = \frac{2}{7} (\vec{a} - \vec{b})$.

Выразим векторы, соответствующие точкам $P$ и $N$:
3. Точка $P$ лежит на стороне $BC$. Дано $\frac{BP}{PC} = \frac{3}{7}$.
Это означает, что $BP = \frac{3}{7} PC$.
Так как $BC = BP + PC$, то $BC = BP + \frac{7}{3} BP = \frac{10}{3} BP$.
Следовательно, $BP = \frac{3}{10} BC$.
Вектор $\vec{BC}$ равен $\vec{AD}$, то есть $\vec{b}$.
Вектор $\vec{BP} = \frac{3}{10} \vec{BC} = \frac{3}{10} \vec{b}$.
Таким образом, $\vec{P} = \vec{B} + \vec{BP} = \vec{a} + \frac{3}{10} \vec{b}$.

4. Точка $N$ лежит на стороне $CD$. Дано $\frac{DN}{NC} = \frac{3}{7}$.
Это означает, что $DN = \frac{3}{7} NC$.
Так как $DC = DN + NC$, то $DC = DN + \frac{7}{3} DN = \frac{10}{3} DN$.
Следовательно, $DN = \frac{3}{10} DC$.
Вектор $\vec{DC}$ равен $\vec{AB}$, то есть $\vec{a}$.
Вектор $\vec{DN} = \frac{3}{10} \vec{DC} = \frac{3}{10} \vec{a}$.
Таким образом, $\vec{N} = \vec{D} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{3}{10} \vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{PN}$: $\vec{PN} = \vec{N} - \vec{P} = \left(\vec{b} + \frac{3}{10} \vec{a}\right) - \left(\vec{a} + \frac{3}{10} \vec{b}\right)$
$\vec{PN} = \vec{b} + \frac{3}{10} \vec{a} - \vec{a} - \frac{3}{10} \vec{b}$
$\vec{PN} = \left(\frac{3}{10} - 1\right) \vec{a} + \left(1 - \frac{3}{10}\right) \vec{b}$
$\vec{PN} = -\frac{7}{10} \vec{a} + \frac{7}{10} \vec{b}$
$\vec{PN} = -\frac{7}{10} (\vec{a} - \vec{b})$

Сравним векторы $\vec{MK}$ и $\vec{PN}$: $\vec{MK} = \frac{2}{7} (\vec{a} - \vec{b})$
$\vec{PN} = -\frac{7}{10} (\vec{a} - \vec{b})$

Мы можем выразить $\vec{a} - \vec{b}$ из первого уравнения: $(\vec{a} - \vec{b}) = \frac{7}{2} \vec{MK}$.
Подставим это во второе уравнение: $\vec{PN} = -\frac{7}{10} \left(\frac{7}{2} \vec{MK}\right)$
$\vec{PN} = -\frac{49}{20} \vec{MK}$

Так как вектор $\vec{PN}$ является скалярным произведением вектора $\vec{MK}$ на скаляр $-\frac{49}{20}$, то отрезки $MK$ и $PN$ параллельны.

Ответ: Отрезки $MK$ и $PN$ параллельны.