Номер 77, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

77. В треугольнике $ABC$ угол $C$ – прямой, $AB = 10$, CH – высота, $CH = 4$, $CA > CB$. Разложите вектор $\overrightarrow{CH}$ по векторам $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$.

Дано:

Треугольник $ABC$

Угол $C$ - прямой ($90^\circ$)

$AB = 10$

$CH$ - высота

$CH = 4$

$CA > CB$

Найти:

Разложить вектор $\overrightarrow{CH}$ по векторам $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$, то есть найти $k_1$ и $k_2$ такие, что $\overrightarrow{CH} = k_1 \overrightarrow{CA} + k_2 \overrightarrow{CB}$.

Решение:

1. Найдем длины сторон $CA$ и $CB$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ площадь $S$ может быть выражена двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB$

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Приравнивая эти выражения, получаем $CA \cdot CB = AB \cdot CH$.

Подставим известные значения: $CA \cdot CB = 10 \cdot 4 = 40$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$CA^2 + CB^2 = AB^2$

$CA^2 + CB^2 = 10^2 = 100$.

Мы имеем систему уравнений:

$\begin{cases} CA \cdot CB = 40 \\ CA^2 + CB^2 = 100 \end{cases}$

Используем тождество $(CA+CB)^2 = CA^2 + CB^2 + 2 \cdot CA \cdot CB$.

$(CA+CB)^2 = 100 + 2 \cdot 40 = 100 + 80 = 180$.

$CA+CB = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

Используем тождество $(CA-CB)^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB$.

$(CA-CB)^2 = 100 - 2 \cdot 40 = 100 - 80 = 20$.

Так как по условию $CA > CB$, то $CA-CB > 0$, следовательно $CA-CB = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Теперь решим систему для $CA$ и $CB$:

$\begin{cases} CA + CB = 6\sqrt{5} \\ CA - CB = 2\sqrt{5} \end{cases}$

Сложим уравнения: $2CA = 8\sqrt{5} \Rightarrow CA = 4\sqrt{5}$.

Вычтем второе уравнение из первого: $2CB = 4\sqrt{5} \Rightarrow CB = 2\sqrt{5}$.

2. Найдем длины отрезков $AH$ и $HB$, на которые высота $CH$ делит гипотенузу $AB$.

В прямоугольном треугольнике $CA^2 = AH \cdot AB$ и $CB^2 = HB \cdot AB$.

$AH = \frac{CA^2}{AB} = \frac{(4\sqrt{5})^2}{10} = \frac{16 \cdot 5}{10} = \frac{80}{10} = 8$.

$HB = \frac{CB^2}{AB} = \frac{(2\sqrt{5})^2}{10} = \frac{4 \cdot 5}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

Проверим: $AH + HB = 8 + 2 = 10 = AB$. Значения верны.

3. Разложим вектор $\overrightarrow{CH}$ по векторам $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$.

Точка $H$ лежит на отрезке $AB$. Вектор $\overrightarrow{CH}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$ с коэффициентами, зависящими от отношения, в котором $H$ делит $AB$.

Вектор $\overrightarrow{CH}$ из вершины $C$ к точке $H$ на стороне $AB$ выражается формулой:

$\overrightarrow{CH} = \frac{HB}{AB} \overrightarrow{CA} + \frac{AH}{AB} \overrightarrow{CB}$.

Подставим найденные значения $AH=8$, $HB=2$, $AB=10$:

$\overrightarrow{CH} = \frac{2}{10} \overrightarrow{CA} + \frac{8}{10} \overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{CH} = \frac{1}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{CB}$.

Ответ:

$\overrightarrow{CH} = \frac{1}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{CB}$