Номер 82, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

82. Дан треугольник с вершинами M(0; 12), N(9; 0), K(0; -12), точка C – центр окружности, вписанной в него. Разложите вектор $\vec{CN}$ по векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CK}$.

Дано:

Треугольник с вершинами $M(0, 12)$, $N(9, 0)$, $K(0, -12)$. Точка $C$ – центр окружности, вписанной в треугольник $MNK$.

Найти:

Разложить вектор $\vec{CN}$ по векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CK}$. То есть, найти коэффициенты $a$ и $b$ такие, что $\vec{CN} = a \cdot \vec{CM} + b \cdot \vec{CK}$.

Решение:

Для разложения вектора нам понадобятся координаты всех трех точек $C$, $M$, $N$, $K$. Координаты вершин $M$, $N$, $K$ заданы. Сначала найдем координаты центра $C$ вписанной окружности (инцентра).

Координаты инцентра $(x_C, y_C)$ вычисляются по формулам: $x_C = \frac{m \cdot x_M + n \cdot x_N + k \cdot x_K}{m + n + k}$ $y_C = \frac{m \cdot y_M + n \cdot y_N + k \cdot y_K}{m + n + k}$ где $m, n, k$ - длины сторон, противоположных вершинам $M, N, K$ соответственно.

Вычислим длины сторон треугольника $MNK$:

Длина стороны $k = |\vec{MN}|$: $k = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(9 - 0)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Длина стороны $m = |\vec{NK}|$: $m = \sqrt{(x_K - x_N)^2 + (y_K - y_N)^2} = \sqrt{(0 - 9)^2 + (-12 - 0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Длина стороны $n = |\vec{KM}|$: $n = \sqrt{(x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (12 - (-12))^2} = \sqrt{0^2 + (24)^2} = \sqrt{576} = 24$.

Теперь вычислим координаты инцентра $C(x_C, y_C)$: $x_C = \frac{15 \cdot 0 + 24 \cdot 9 + 15 \cdot 0}{15 + 24 + 15} = \frac{0 + 216 + 0}{54} = \frac{216}{54} = 4$. $y_C = \frac{15 \cdot 12 + 24 \cdot 0 + 15 \cdot (-12)}{15 + 24 + 15} = \frac{180 + 0 - 180}{54} = \frac{0}{54} = 0$.

Таким образом, координаты инцентра $C$ равны $(4, 0)$.

Далее найдем координаты векторов $\vec{CM}$, $\vec{CK}$ и $\vec{CN}$. Вектор $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A, y_A)$ и концом в точке $B(x_B, y_B)$ имеет координаты $(x_B - x_A, y_B - y_A)$.

Координаты точек: $C(4, 0)$, $M(0, 12)$, $N(9, 0)$, $K(0, -12)$.

$\vec{CM} = (0 - 4, 12 - 0) = (-4, 12)$.

$\vec{CK} = (0 - 4, -12 - 0) = (-4, -12)$.

$\vec{CN} = (9 - 4, 0 - 0) = (5, 0)$.

Теперь разложим вектор $\vec{CN}$ по векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CK}$. Это означает, что нам нужно найти такие скаляры $a$ и $b$, что: $\vec{CN} = a \cdot \vec{CM} + b \cdot \vec{CK}$

Подставим координаты векторов: $(5, 0) = a \cdot (-4, 12) + b \cdot (-4, -12)$ $(5, 0) = (-4a, 12a) + (-4b, -12b)$ $(5, 0) = (-4a - 4b, 12a - 12b)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений: $5 = -4a - 4b \quad (1)$ $0 = 12a - 12b \quad (2)$

Из уравнения $(2)$ следует: $12a = 12b$ $a = b$

Подставим $a = b$ в уравнение $(1)$: $5 = -4a - 4a$ $5 = -8a$ $a = -\frac{5}{8}$

Так как $a = b$, то $b = -\frac{5}{8}$.

Следовательно, разложение вектора $\vec{CN}$ по векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CK}$ имеет вид: $\vec{CN} = -\frac{5}{8} \cdot \vec{CM} - \frac{5}{8} \cdot \vec{CK}$

Ответ: $\vec{CN} = -\frac{5}{8} \cdot \vec{CM} - \frac{5}{8} \cdot \vec{CK}$