Номер 84, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

84. На окружности с центром $O$ даны точки $A$ и $B$. Касательные $AC$ и $BC$ к окружности пересекаются в точке $C$. Выразите вектор $\vec{OC}$ через векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, если:

а) $\angle AOB = 120^\circ$;

б) $\angle AOB = 60^\circ$.

Дано:

Окружность с центром $O$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности. Касательные $AC$ и $BC$ к окружности пересекаются в точке $C$. Радиус окружности $R = |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}|$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения углов (градусы) являются стандартными для геометрических задач. Длины радиусов не заданы конкретными числовыми значениями, но обозначены как $R$, что достаточно для векторных вычислений. Перевод в другие единицы СИ не требуется.

Найти:

Выразить вектор $\overrightarrow{OC}$ через векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ для случаев:

Решение:

Из условия задачи известно, что $AC$ и $BC$ являются касательными к окружности с центром $O$, проведенными из точки $C$. Из свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки, следуют несколько важных фактов:
1. Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным: $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Следовательно, углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми ($90^\circ$).
2. Длины касательных отрезков, проведенных из одной точки к окружности, равны: $AC = BC$.
3. Отрезок $OC$ соединяет центр окружности с внешней точкой $C$. Этот отрезок является биссектрисой угла $\angle ACB$ и угла $\angle AOB$.
4. Треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ являются прямоугольными и равными (по катету $OA=OB=R$ и общей гипотенузе $OC$).
Пусть $\angle AOB = \alpha$. Так как $OC$ является биссектрисой $\angle AOB$, то $\angle AOC = \angle BOC = \alpha/2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ (с прямым углом при вершине $A$) можем выразить длину гипотенузы $OC$ через катет $OA=R$ и угол $\angle AOC$: $OC = \frac{OA}{\cos(\angle AOC)} = \frac{R}{\cos(\alpha/2)}$.

Вектор $\overrightarrow{OC}$ лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$. Поскольку $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = R$, вектор $\overrightarrow{OC}$ сонаправлен с вектором суммы $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$. Следовательно, мы можем записать $\overrightarrow{OC} = k(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ для некоторого положительного скаляра $k$. Найдем модуль вектора суммы $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|$: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 + 2 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$. Подставим $R = |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}|$ и $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos(\angle AOB) = R^2 \cos \alpha$: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \alpha = 2R^2 (1 + \cos \alpha)$. Используем тригонометрическую тождество $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 (\alpha/2)$: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = 2R^2 (2 \cos^2 (\alpha/2)) = 4R^2 \cos^2 (\alpha/2)$. Извлекая квадратный корень, получаем: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = \sqrt{4R^2 \cos^2 (\alpha/2)} = 2R |\cos (\alpha/2)|$. Поскольку $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ (угол между радиусами), то $0^\circ < \alpha/2 < 90^\circ$. В этом интервале $\cos(\alpha/2) > 0$. Таким образом, $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = 2R \cos (\alpha/2)$. Теперь подставим это в равенство $|\overrightarrow{OC}| = k |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|$ (поскольку $k > 0$): $\frac{R}{\cos(\alpha/2)} = k \cdot (2R \cos (\alpha/2))$. Решим для $k$: $k = \frac{R}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{2R \cos (\alpha/2)} = \frac{1}{2 \cos^2 (\alpha/2)}$. Используя тригонометрическую формулу $2 \cos^2 x = 1 + \cos(2x)$, получаем: $k = \frac{1}{1 + \cos \alpha}$. Следовательно, общая формула для вектора $\overrightarrow{OC}$ через $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ есть: $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{1 + \cos \alpha} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$, где $\alpha = \angle AOB$.

a) $\angle AOB = 120^\circ$

Для этого случая $\alpha = 120^\circ$. Вычислим $\cos \alpha$: $\cos 120^\circ = -1/2$. Подставим значение $\cos \alpha$ в формулу для $k$: $k = \frac{1}{1 + (-1/2)} = \frac{1}{1/2} = 2$. Таким образом, $\overrightarrow{OC} = 2(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Ответ: $\overrightarrow{OC} = 2(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

б) $\angle AOB = 60^\circ$

Для этого случая $\alpha = 60^\circ$. Вычислим $\cos \alpha$: $\cos 60^\circ = 1/2$. Подставим значение $\cos \alpha$ в формулу для $k$: $k = \frac{1}{1 + 1/2} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$. Таким образом, $\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Ответ: $\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.