Номер 78, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

78. В четырехугольнике $ABCD$ точки $M$ и $K$ – середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$.

Точка $M$ – середина стороны $BC$.

Точка $K$ – середина стороны $AD$.

Найти:

Выразить вектор $\overrightarrow{MK}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся правилом нахождения вектора, соединяющего середины двух отрезков. Пусть $O$ — произвольная точка. Тогда вектор, проведенный из $O$ к середине отрезка $XY$, обозначаемый $\overrightarrow{OZ}$, равен $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY})$.

Вектор $\overrightarrow{MK}$ можно представить как разность векторов $\overrightarrow{OK}$ и $\overrightarrow{OM}$ относительно произвольной точки $O$:

$\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OM}$

Поскольку $K$ является серединой стороны $AD$, мы можем записать:

$\overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD})$

Аналогично, так как $M$ является серединой стороны $BC$, получаем:

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$

Подставим эти выражения для $\overrightarrow{OK}$ и $\overrightarrow{OM}$ в формулу для $\overrightarrow{MK}$:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$

Перегруппируем слагаемые в скобках:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}))$

Воспользуемся свойством разности векторов: $\overrightarrow{PX} - \overrightarrow{PY} = \overrightarrow{YX}$.

Тогда $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD}$.

Подставим эти векторные выражения обратно в формулу для $\overrightarrow{MK}$:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CD})$

Так как вектор $\overrightarrow{BA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AB}$, то $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.

Окончательно получаем:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})$

Или, переставив слагаемые для удобства чтения:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB})$

Ответ: $\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB})$