Номер 74, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

74. В параллелограмме ABCD точка N делит сторону BC в отношении 2 : 3, считая от вершины B. Разложите вектор $\vec{AN}$ по векторам:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$;

б) $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Точка $N$ делит сторону $BC$ в отношении $BN:NC = 2:3$, считая от вершины $B$.

Перевод в систему СИ: Данные являются безразмерными отношениями и геометрическими векторами, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:

Разложить вектор $\vec{AN}$ по векторам:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

б) $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$

Решение

Точка $N$ делит сторону $BC$ в отношении $BN:NC = 2:3$. Это означает, что отрезок $BN$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины отрезка $BC$. Следовательно, вектор $\vec{BN}$ равен:

$\vec{BN} = \frac{2}{5} \vec{BC}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны по длине, поэтому вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$:

$\vec{BC} = \vec{AD}$

Подставим это в выражение для $\vec{BN}$:

$\vec{BN} = \frac{2}{5} \vec{AD}$

Вектор $\vec{AN}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BN}$ (по правилу треугольника):

$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}$

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

Используем полученное выше выражение для $\vec{AN}$ и подставим в него $\vec{BN} = \frac{2}{5} \vec{AD}$:

$\vec{AN} = \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AN} = \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AD}$

б) $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$

Для разложения вектора $\vec{AN}$ по векторам $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ воспользуемся тем, что в параллелограмме $ABCD$ диагональ $\vec{AC}$ может быть выражена как сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Поскольку $\vec{BC} = \vec{AD}$, получаем:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Выразим вектор $\vec{AB}$ через $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{AD}$

Теперь подставим это выражение для $\vec{AB}$ в разложение вектора $\vec{AN}$ из пункта а):

$\vec{AN} = \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AD}$

$\vec{AN} = (\vec{AC} - \vec{AD}) + \frac{2}{5} \vec{AD}$

Раскроем скобки и сгруппируем члены с $\vec{AD}$:

$\vec{AN} = \vec{AC} - \vec{AD} + \frac{2}{5} \vec{AD}$

$\vec{AN} = \vec{AC} + \left( \frac{2}{5} - 1 \right) \vec{AD}$

$\vec{AN} = \vec{AC} + \left( \frac{2}{5} - \frac{5}{5} \right) \vec{AD}$

$\vec{AN} = \vec{AC} - \frac{3}{5} \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AN} = \vec{AC} - \frac{3}{5} \vec{AD}$