Номер 79, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

79. Дан треугольник ABC, MN – его средняя линия, параллельная AC, K – середина MN, O – произвольная точка плоскости. Докажите, что $ \vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC} = 4\vec{OK} $.

Дано

треугольник $ABC$
$MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AC$
$K$ — середина $MN$
$O$ — произвольная точка плоскости

Найти:

Доказать, что $\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC} = 4\vec{OK}$.

Решение

Пусть $O$ — это начало отсчета для всех векторов. Тогда вектор $\vec{OX}$ соответствует радиус-вектору точки $X$.

1. По определению средней линии треугольника, $MN$ является средней линией, параллельной $AC$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ является серединой стороны $BC$.

2. Используем векторную формулу для нахождения радиус-вектора середины отрезка. Если $P$ — середина отрезка с концевыми точками $X$ и $Y$, то радиус-вектор точки $P$ равен среднему арифметическому радиус-векторов точек $X$ и $Y$: $\vec{OP} = \frac{\vec{OX} + \vec{OY}}{2}$.

3. Применяем эту формулу для точки $M$, которая является серединой отрезка $AB$:
$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

4. Аналогично, для точки $N$, которая является серединой отрезка $BC$:
$\vec{ON} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$

5. По условию, точка $K$ является серединой отрезка $MN$. Применяем ту же формулу для $K$:
$\vec{OK} = \frac{\vec{OM} + \vec{ON}}{2}$

6. Теперь подставим выражения для $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ из шагов 3 и 4 в формулу для $\vec{OK}$ из шага 5:
$\vec{OK} = \frac{\left(\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}\right) + \left(\frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}\right)}{2}$

Объединим дроби в числителе:
$\vec{OK} = \frac{\frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OB} + \vec{OC}}{2}}{2}$

Сгруппируем члены в числителе:
$\vec{OK} = \frac{\frac{\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC}}{2}}{2}$

Упростим выражение:
$\vec{OK} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC}}{4}$

7. Наконец, умножим обе части полученного уравнения на 4, чтобы получить требуемое тождество:
$4\vec{OK} = \vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC}$

Мы доказали, что $\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC} = 4\vec{OK}$.

Ответ:

Доказано.