Вопросы, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называют разложением вектора по двум неколлинеарным векторам?

2. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

1. Что называют разложением вектора по двум неколлинеарным векторам?

Разложением вектора $\vec{c}$ по двум неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, лежащим в той же плоскости, называется представление вектора $\vec{c}$ в виде линейной комбинации этих векторов, то есть в форме $\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$, где $\lambda$ и $\mu$ — некоторые скалярные коэффициенты (действительные числа). Эти коэффициенты называются коэффициентами разложения.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам:

Любой вектор $\vec{c}$ в плоскости может быть единственным образом разложен по двум любым неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, лежащим в той же плоскости. То есть, существуют единственные действительные числа $\lambda$ и $\mu$ такие, что $\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$.

Решение

Доказательство:

Пусть даны два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, и произвольный вектор $\vec{c}$, все лежащие в одной плоскости. Приведем все три вектора к общему началу, точке $O$. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$.

1. Существование разложения:

Построим через точку $C$ прямую, параллельную вектору $\vec{OB}$ (т.е. прямой, содержащей $\vec{b}$). Пусть эта прямая пересечет прямую, содержащую вектор $\vec{OA}$ (т.е. прямую, содержащую $\vec{a}$), в точке $P$.Аналогично, построим через точку $C$ прямую, параллельную вектору $\vec{OA}$. Пусть эта прямая пересечет прямую, содержащую вектор $\vec{OB}$, в точке $Q$.По правилу параллелограмма сложения векторов, вектор $\vec{OC}$ является суммой векторов $\vec{OP}$ и $\vec{OQ}$:$\vec{OC} = \vec{OP} + \vec{OQ}$.Вектор $\vec{OP}$ коллинеарен вектору $\vec{OA}$ (т.е. $\vec{a}$), так как лежит на одной прямой с ним. Следовательно, $\vec{OP}$ может быть представлен в виде $\lambda\vec{a}$ для некоторого действительного числа $\lambda$.Вектор $\vec{OQ}$ коллинеарен вектору $\vec{OB}$ (т.е. $\vec{b}$), так как лежит на одной прямой с ним. Следовательно, $\vec{OQ}$ может быть представлен в виде $\mu\vec{b}$ для некоторого действительного числа $\mu$.Подставляя эти выражения в сумму, получаем:$\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$.Таким образом, мы доказали существование разложения вектора $\vec{c}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2. Единственность разложения:

Предположим, что вектор $\vec{c}$ может быть разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ двумя разными способами:$\vec{c} = \lambda_1\vec{a} + \mu_1\vec{b}$ (1)$\vec{c} = \lambda_2\vec{a} + \mu_2\vec{b}$ (2)Вычтем второе уравнение из первого:$(\lambda_1\vec{a} + \mu_1\vec{b}) - (\lambda_2\vec{a} + \mu_2\vec{b}) = \vec{0}$$(\lambda_1 - \lambda_2)\vec{a} + (\mu_1 - \mu_2)\vec{b} = \vec{0}$.Обозначим $k = \lambda_1 - \lambda_2$ и $m = \mu_1 - \mu_2$. Тогда уравнение примет вид:$k\vec{a} + m\vec{b} = \vec{0}$.Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, они являются линейно независимыми. Это означает, что их линейная комбинация равна нулевому вектору только в том случае, когда все коэффициенты этой комбинации равны нулю.Следовательно, $k = 0$ и $m = 0$.Отсюда получаем:$\lambda_1 - \lambda_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2$$\mu_1 - \mu_2 = 0 \Rightarrow \mu_1 = \mu_2$.Это доказывает, что коэффициенты разложения $\lambda$ и $\mu$ единственны.Таким образом, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам является единственным.

Ответ: