Номер 71, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

71. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что $AO/OB = OD/OC = 2$. Докажите, что отрезки BC и AD параллельны.

Дано:

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.

$\frac{AO}{OB} = \frac{OD}{OC} = 2$.

Найти:

Доказать, что отрезки $BC$ и $AD$ параллельны.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.

1. Из условия задачи дано, что отношения длин отрезков равны:

$\frac{AO}{OB} = 2$ и $\frac{OD}{OC} = 2$.

Отсюда следует, что $\frac{AO}{OB} = \frac{OD}{OC}$.

2. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $AB$ и $CD$ в точке $O$.

Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$.

3. Мы имеем два треугольника, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$, у которых отношение двух сторон одного треугольника равно отношению соответствующих сторон другого треугольника ($\frac{AO}{OB} = \frac{OD}{OC}$), а углы, заключенные между этими сторонами, равны ($\angle AOD = \angle BOC$).

По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS-признак подобия), треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны.

То есть, $\triangle AOD \sim \triangle BOC$.

4. Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов.

В частности, $\angle OAD = \angle OBC$ и $\angle ODA = \angle OCB$.

5. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AB$. Углы $\angle OAD$ (то есть $\angle DAB$) и $\angle OBC$ (то есть $\angle CBA$) являются накрест лежащими углами относительно этих прямых и секущей $AB$.

Поскольку мы доказали, что $\angle OAD = \angle OBC$, а эти углы являются накрест лежащими, то по признаку параллельности прямых, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

Ответ:

Доказано, что отрезки $BC$ и $AD$ параллельны.