Номер 67, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

67. В трапеции ABCD точки M и K – середины боковых сторон AB и CD соответственно, $AD = 16 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$. Найдите такие числа x и y, что $\vec{AD} = x\vec{MK}$, $\vec{CB} = y\vec{MK}$.

Дано:

трапеция $ABCD$.

$M$ - середина боковой стороны $AB$.

$K$ - середина боковой стороны $CD$.

длина основания $AD = 16 \text{ см}$.

длина основания $BC = 12 \text{ см}$.

векторное равенство $\vec{AD} = x\vec{MK}$.

векторное равенство $\vec{CB} = y\vec{MK}$.

Перевод в СИ:

$AD = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$.

$BC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

(числа $x$ и $y$ являются безразмерными коэффициентами, поэтому перевод в СИ не повлияет на их значения, но выполнен для соблюдения требований).

Найти:

числа $x$ и $y$.

Решение:

по свойству средней линии трапеции, отрезок $MK$, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией. средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и ее длина равна полусумме длин оснований.

в данной трапеции $ABCD$, основаниями являются $AD$ и $BC$. отрезок $MK$ - средняя линия.

следовательно, $\vec{MK} \parallel \vec{AD}$ и $\vec{MK} \parallel \vec{BC}$.

длина средней линии $MK$ вычисляется по формуле: $MK = \frac{AD + BC}{2}$.

подставим данные значения: $MK = \frac{16 \text{ см} + 12 \text{ см}}{2} = \frac{28 \text{ см}}{2} = 14 \text{ см}$.

рассмотрим первое векторное равенство: $\vec{AD} = x\vec{MK}$.

поскольку вектор $\vec{AD}$ и вектор $\vec{MK}$ сонаправлены (средняя линия трапеции направлена так же, как и основания), то скаляр $x$ должен быть положительным.

равенство векторов означает равенство их модулей с учетом знака коэффициента:

$|\vec{AD}| = |x| \cdot |\vec{MK}|$.

так как $AD > 0$, $MK > 0$ и $x > 0$, то $AD = x \cdot MK$.

выразим $x$: $x = \frac{AD}{MK}$.

подставим формулу для $MK$: $x = \frac{AD}{\frac{AD + BC}{2}} = \frac{2 \cdot AD}{AD + BC}$.

подставим численные значения: $x = \frac{2 \cdot 16}{16 + 12} = \frac{32}{28} = \frac{8}{7}$.

рассмотрим второе векторное равенство: $\vec{CB} = y\vec{MK}$.

вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$. поскольку вектор $\vec{BC}$ сонаправлен с вектором $\vec{MK}$ (как и $\vec{AD}$), то вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{MK}$.

следовательно, скаляр $y$ должен быть отрицательным.

равенство векторов означает равенство их модулей с учетом знака коэффициента:

$|\vec{CB}| = |y| \cdot |\vec{MK}|$.

так как длина отрезка $CB$ равна $BC$, то $BC = |y| \cdot MK$.

выразим $|y|$: $|y| = \frac{BC}{MK}$.

подставим формулу для $MK$: $|y| = \frac{BC}{\frac{AD + BC}{2}} = \frac{2 \cdot BC}{AD + BC}$.

поскольку $y$ является отрицательным числом, $y = -\frac{2 \cdot BC}{AD + BC}$.

подставим численные значения: $y = -\frac{2 \cdot 12}{16 + 12} = -\frac{24}{28} = -\frac{6}{7}$.

Ответ:

$x = \frac{8}{7}$, $y = -\frac{6}{7}$.