Номер 63, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

63. Дан параллелограмм $ABCD$, точки: $M$ – середина $DC$, $O$ – середина $AM$ и векторы $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$. Выразите через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{AM}$ и $\vec{CO}$.

Дано:

Параллелограмм ABCD.

Точка M — середина стороны DC.

Точка O — середина отрезка AM.

Векторы: $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$.

Найти:

Выразить векторы $\vec{AM}$ и $\vec{CO}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и правилами сложения и вычитания векторов, а также свойством вектора, идущего в середину отрезка.

В параллелограмме ABCD справедливы следующие векторные равенства:

• $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$
• $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b}$ (противоположные стороны параллелограмма)
• $\vec{DC} = \vec{AB} = -\vec{a}$ (противоположные стороны параллелограмма)
• $\vec{CD} = -\vec{DC} = \vec{a}$

Выражение вектора $\vec{AM}$

Вектор $\vec{AM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DM}$ (по правилу треугольника для $\triangle ADM$).

Так как M — середина DC, то $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Подставим известные нам выражения:

$\vec{DM} = \frac{1}{2}(-\vec{a})$

$\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM}$

$\vec{AM} = \vec{b} + \frac{1}{2}(-\vec{a})$

$\vec{AM} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

Ответ: $\vec{AM} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{CO}$

Вектор $\vec{CO}$ можно представить как сумму векторов $\vec{CA}$ и $\vec{AO}$ (по правилу треугольника для $\triangle CAO$).

Сначала найдем вектор $\vec{CA}$. Вектор $\vec{CA}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$.

$\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{b}$

$\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA}$

$\vec{CA} = -\vec{b} + \vec{a}$

Теперь найдем вектор $\vec{AO}$. Так как O — середина AM, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AM}$.

Используем найденное нами выражение для $\vec{AM}$:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a})$

$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$

Теперь подставим выражения для $\vec{CA}$ и $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{CO}$:

$\vec{CO} = \vec{CA} + \vec{AO}$

$\vec{CO} = (-\vec{b} + \vec{a}) + (\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a})$

Сгруппируем слагаемые с $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{CO} = \vec{a} - \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{CO} = (1 - \frac{1}{4})\vec{a} + (-1 + \frac{1}{2})\vec{b}$

$\vec{CO} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{CO} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$