Номер 58, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

58. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны. Сравните длины векторов $\vec{a}$ и $k\vec{b}$, если:

a) $k = -1$;

б) $k = 0,9$.

Дано:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $\vec{a} = \vec{b}$.
Из определения равенства векторов следует, что их длины равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Найти:

Сравнить длины векторов $|\vec{a}|$ и $|k\vec{b}|$.

Решение:

Для сравнения длин векторов $|\vec{a}|$ и $|k\vec{b}|$ воспользуемся свойством длины вектора, умноженного на скаляр: $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$.
Применительно к нашему случаю, длина вектора $k\vec{b}$ будет равна $|k\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{b}|$.
Поскольку дано, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, мы можем заменить $|\vec{b}|$ на $|\vec{a}|$ в выражении для длины $k\vec{b}$.
Таким образом, задача сводится к сравнению $|\vec{a}|$ и $|k| \cdot |\vec{a}|$.
Это эквивалентно сравнению $1$ и $|k|$ (при условии, что $|\vec{a}| \ne 0$).

а) $k = -1$

Подставим значение $k = -1$ в выражение для длины вектора $k\vec{b}$: $|k\vec{b}| = |-1| \cdot |\vec{b}|$.
Так как $|-1| = 1$, получаем $|k\vec{b}| = 1 \cdot |\vec{b}| = |\vec{b}|$.
По условию задачи, $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, $|k\vec{b}| = |\vec{a}|$.

Ответ: Длины векторов $\vec{a}$ и $k\vec{b}$ равны.

б) $k = 0,9$

Подставим значение $k = 0,9$ в выражение для длины вектора $k\vec{b}$: $|k\vec{b}| = |0,9| \cdot |\vec{b}|$.
Так как $|0,9| = 0,9$, получаем $|k\vec{b}| = 0,9 \cdot |\vec{b}|$.
По условию задачи, $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, $|k\vec{b}| = 0,9 \cdot |\vec{a}|$.
Теперь сравним $|\vec{a}|$ и $0,9 \cdot |\vec{a}|$.
Поскольку коэффициент $0,9$ меньше $1$, то $0,9 \cdot |\vec{a}|$ будет меньше $|\vec{a}|$ (при условии, что $|\vec{a}| > 0$).
То есть, $|\vec{a}| > |k\vec{b}|$.

Ответ: Длина вектора $\vec{a}$ больше длины вектора $k\vec{b}$.