Номер 54, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

54. Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка X плоскости. Докажите, что:

а) $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$;

б) $\vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA} = -(\vec{BX} - \vec{CD})$.

Дано:Параллелограмм $ABCD$.Произвольная точка $X$ плоскости.

Найти:Доказать следующие векторные равенства:a) $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$b) $\vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA} = -(\vec{BX} - \vec{CD})$

Решение

a) $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$

Пусть $M$ — середина диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$.Известно свойство векторов, что для любой точки $X$ и отрезка $AC$ с серединой $M$ справедливо равенство:$\vec{XA} + \vec{XC} = 2\vec{XM}$

Аналогично, пусть $N$ — середина диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$.Для той же произвольной точки $X$ и отрезка $BD$ с серединой $N$ справедливо равенство:$\vec{XB} + \vec{XD} = 2\vec{XN}$

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают. Следовательно, точки $M$ и $N$ — это одна и та же точка.

Таким образом, векторы $\vec{XM}$ и $\vec{XN}$ равны: $\vec{XM} = \vec{XN}$.

Умножая это равенство на 2, получаем: $2\vec{XM} = 2\vec{XN}$.

Подставляя обратно выражения для сумм векторов, получаем:$\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) $\vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA} = -(\vec{BX} - \vec{CD})$

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства (LHS):$LHS = \vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA}$

Используем правило сложения векторов (правило треугольника) для первых двух векторов: $\vec{XB} + \vec{BC} = \vec{XC}$.

Теперь подставим это в выражение для $LHS$:$LHS = \vec{XC} + \vec{CA}$

Снова применяем правило треугольника к полученной сумме: $\vec{XC} + \vec{CA} = \vec{XA}$.Таким образом, левая часть равенства $LHS = \vec{XA}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства (RHS):$RHS = -(\vec{BX} - \vec{CD})$

Раскроем скобки, изменив знаки векторов внутри:$RHS = -\vec{BX} + \vec{CD}$

Вектор, направленный в противоположную сторону, равен исходному вектору с противоположным знаком, то есть $-\vec{BX} = \vec{XB}$.

Подставим это в выражение для $RHS$:$RHS = \vec{XB} + \vec{CD}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны по длине и параллельны, что означает равенство векторов $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$. То есть, $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Подставим $\vec{BA}$ вместо $\vec{CD}$ в выражение для $RHS$:$RHS = \vec{XB} + \vec{BA}$

Применяя правило треугольника к сумме $\vec{XB} + \vec{BA}$, получаем: $\vec{XB} + \vec{BA} = \vec{XA}$.

Таким образом, правая часть равенства $RHS = \vec{XA}$.

Поскольку $LHS = \vec{XA}$ и $RHS = \vec{XA}$, то $LHS = RHS$.

Следовательно, равенство $\vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA} = -(\vec{BX} - \vec{CD})$ доказано.

Ответ: Доказано.