Номер 51, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

51. Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, в которой $AB = BC$, $\angle A = 60^\circ$, точка $K$ – середина $AD$ и векторы $\vec{a} = \vec{AK}$, $\vec{b} = \vec{AB}$. Выразите через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{CB}$, $\vec{DC}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{DB}$.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Основания $AD$ и $BC$.

$AB = BC$.

$\angle A = 60^\circ$.

Точка $K$ - середина $AD$.

Векторы $\vec{a} = \vec{AK}$, $\vec{b} = \vec{AB}$.

Найти:

Выразить через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{CB}$, $\vec{DC}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{DB}$.

Решение:

Начнем с анализа геометрических свойств трапеции. Пусть длина стороны $AB$ равна $x$.

Так как $AB = BC$ (дано), то $BC = x$.

Трапеция $ABCD$ равнобедренная, поэтому $CD = AB = x$.

Таким образом, $AB = BC = CD = x$.

Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle H = 90^\circ$):

$\angle A = 60^\circ$ (дано), $AB = x$.

Длина отрезка $AH = AB \cos(\angle A) = x \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$.

Опустим высоту $CL$ из вершины $C$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть $\angle D = \angle A = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $CDL$ ($\angle L = 90^\circ$):

$\angle D = 60^\circ$, $CD = x$.

Длина отрезка $LD = CD \cos(\angle D) = x \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$.

Четырехугольник $HBLC$ является прямоугольником, так как $BH \perp AD$, $CL \perp AD$ и $BC \parallel HL$ (часть $AD$).

Следовательно, $HL = BC = x$.

Длина основания $AD = AH + HL + LD = \frac{x}{2} + x + \frac{x}{2} = 2x$.

Точка $K$ - середина $AD$ (дано), поэтому $AK = KD = \frac{AD}{2} = \frac{2x}{2} = x$.

Таким образом, мы установили, что $AB = BC = CD = AK = KD = x$.

Даны векторы $\vec{a} = \vec{AK}$ и $\vec{b} = \vec{AB}$.

Их модули: $|\vec{a}| = AK = x$ и $|\vec{b}| = AB = x$.

CB

Вектор $\vec{BC}$ параллелен вектору $\vec{AD}$ (основания трапеции). Поскольку $BC = x$ и $AK = x$, а также векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AK}$ направлены в одну сторону, то $\vec{BC} = \vec{AK}$.

Так как $\vec{AK} = \vec{a}$ (дано), то $\vec{BC} = \vec{a}$.

Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$.

Следовательно, $\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{a}$.

Ответ: $\vec{CB} = -\vec{a}$

DC

Для нахождения вектора $\vec{DC}$ воспользуемся правилом сложения векторов (путем обхода):

$\vec{DC} = \vec{DA} + \vec{AC}$.

Сначала найдем $\vec{DA}$. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$.

Так как $K$ - середина $AD$, то $\vec{AD} = 2\vec{AK}$.

По условию $\vec{AK} = \vec{a}$, следовательно $\vec{AD} = 2\vec{a}$.

Тогда $\vec{DA} = -\vec{AD} = -2\vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{AC}$. Используем правило треугольника для $\triangle ABC$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

По условию $\vec{AB} = \vec{b}$.

Из предыдущего пункта CB мы установили, что $\vec{BC} = \vec{a}$.

Подставим эти значения: $\vec{AC} = \vec{b} + \vec{a}$.

Теперь подставим $\vec{DA}$ и $\vec{AC}$ в выражение для $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (-2\vec{a}) + (\vec{b} + \vec{a}) = -\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{DC} = \vec{b} - \vec{a}$

AC

Используем правило сложения векторов для треугольника $ABC$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

По условию $\vec{AB} = \vec{b}$.

Из анализа геометрических свойств и определения вектора $\vec{a}$ мы выяснили, что $\vec{BC} = \vec{a}$.

Следовательно, $\vec{AC} = \vec{b} + \vec{a}$.

Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

AD

Точка $K$ является серединой отрезка $AD$ (дано).

Это означает, что вектор $\vec{AD}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AK}$ и сонаправлен с ним.

По условию $\vec{AK} = \vec{a}$.

Следовательно, $\vec{AD} = 2\vec{AK} = 2\vec{a}$.

Ответ: $\vec{AD} = 2\vec{a}$

DB

Для нахождения вектора $\vec{DB}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника $DAB$:

$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$.

Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$.

Из пункта AD мы знаем, что $\vec{AD} = 2\vec{a}$.

Следовательно, $\vec{DA} = -2\vec{a}$.

По условию $\vec{AB} = \vec{b}$.

Подставим эти значения:

$\vec{DB} = -2\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{DB} = \vec{b} - 2\vec{a}$