Номер 52, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

52. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной, равной a. Докажите, что:

а) $|\vec{CA} + \vec{AB}| = |\vec{CA} - \vec{CB}|$;

б) $|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{AB} + \vec{AC}|$.

Дано:

Треугольник $ABC$ - равносторонний.

Длина стороны: $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = a$.

Все углы треугольника равны $60^\circ$.

Найти:

Доказать следующие равенства:

а) $|\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}|$

б) $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$

Решение:

а) Доказать: $|\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}|$

Рассмотрим левую часть равенства:

Используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.

Тогда $|\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CB}|$.

Поскольку $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной $a$, длина вектора $\overrightarrow{CB}$ равна $a$.

Следовательно, $|\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| = a$.

Рассмотрим правую часть равенства:

Используем правило вычитания векторов: $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}$. Если векторы имеют общее начало ($C$), то их разность равна вектору, идущему от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора. То есть, $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}$.

Тогда $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{BA}|$.

Поскольку $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной $a$, длина вектора $\overrightarrow{BA}$ равна $a$.

Следовательно, $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}| = a$.

Поскольку левая и правая части равенства равны $a$, равенство доказано.

Ответ: доказано.

б) Доказать: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$

Для доказательства равенства длин векторов воспользуемся формулой для модуля разности/суммы векторов:$|\vec{u} \pm \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$, где $\theta$ - угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ все стороны равны $a$ и все углы равны $60^\circ$.

Рассмотрим левую часть равенства: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|$.

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}))$.

Длины векторов $|\overrightarrow{AB}| = a$ и $|\overrightarrow{BC}| = a$.

Угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$:Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от $A$ к $B$. Вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен от $B$ к $C$.Угол $ABC$ в треугольнике равен $60^\circ$.Если мы расположим векторы так, чтобы их начала совпадали, то угол между $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ будет равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.(Представьте, что вы стоите в точке $B$. Вектор $\overrightarrow{BA}$ направлен назад по стороне $AB$. Вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен вперед по стороне $BC$. Угол между $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$ равен $60^\circ$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ противоположен $\overrightarrow{BA}$, поэтому угол между $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$).

Таким образом, $\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})) = \cos(120^\circ) = -1/2$.

Подставляем значения:

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-1/2)$

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Рассмотрим правую часть равенства: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$.

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}))$.

Длины векторов $|\overrightarrow{AB}| = a$ и $|\overrightarrow{AC}| = a$.

Угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ имеют общее начало $A$. Угол между ними равен внутреннему углу $\angle BAC$ треугольника, который составляет $60^\circ$.

Таким образом, $\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})) = \cos(60^\circ) = 1/2$.

Подставляем значения:

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot (1/2)$

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Поскольку левая и правая части равенства равны $a\sqrt{3}$, равенство доказано.

Ответ: доказано.