Номер 48, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

48. Дан треугольник FKT. Постройте векторы, равные сумме и разности векторов:

а) $\vec{FK}$ и $\vec{KT}$;

б) $\vec{FK}$ и $\vec{FT}$;

в) $\vec{KT}$ и $\vec{FT}$.

Дано:

Треугольник $FKT$.

Найти:

Построить векторы, равные сумме и разности следующих пар векторов:

1. $\vec{FK}$ и $\vec{KT}$

2. $\vec{FK}$ и $\vec{FT}$

3. $\vec{KT}$ и $\vec{FT}$

Решение:

Пусть дан произвольный треугольник $FKT$.

а) $\vec{FK}$ и $\vec{KT}$

Сумма: $\vec{FK} + \vec{KT}$.

По правилу треугольника (правило "начала-конца"), если конец первого вектора совпадает с началом второго, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго.

В данном случае, конец вектора $\vec{FK}$ — точка $K$, и начало вектора $\vec{KT}$ — также точка $K$.

Следовательно, $\vec{FK} + \vec{KT} = \vec{FT}$.

Для построения просто рисуем треугольник $FKT$. Вектор $\vec{FT}$ будет являться суммой $\vec{FK}$ и $\vec{KT}$.

Разность: $\vec{FK} - \vec{KT}$.

Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ может быть представлена как сумма $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{KT}$ — это вектор $\vec{TK}$.

Следовательно, $\vec{FK} - \vec{KT} = \vec{FK} + \vec{TK}$.

Чтобы построить этот вектор:

1. Нарисуйте вектор $\vec{FK}$.

2. Из точки $K$ (конца вектора $\vec{FK}$) постройте вектор $\vec{KM}$, равный вектору $\vec{TK}$. Это означает, что точка $M$ должна быть такой, что $K$ является серединой отрезка $TM$.

3. Тогда искомым вектором разности будет вектор $\vec{FM}$.

Ответ: Сумма: $\vec{FT}$. Разность: $\vec{FM}$, где $M$ — точка, такая что $K$ является серединой отрезка $TM$.

б) $\vec{FK}$ и $\vec{FT}$

Эти два вектора имеют общее начало — точку $F$.

Сумма: $\vec{FK} + \vec{FT}$.

По правилу параллелограмма, если два вектора имеют общее начало, их сумма — это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, исходящая из их общего начала.

Чтобы построить этот вектор:

1. Нарисуйте векторы $\vec{FK}$ и $\vec{FT}$ из общего начала $F$.

2. Постройте точку $P$ так, чтобы $FKPT$ был параллелограммом (то есть $\vec{KP} = \vec{FT}$ и $\vec{TP} = \vec{FK}$).

3. Тогда искомым вектором суммы будет диагональ $\vec{FP}$.

Разность: $\vec{FK} - \vec{FT}$.

Для векторов, имеющих общее начало $\vec{FA}$ и $\vec{FB}$, их разность $\vec{FA} - \vec{FB}$ равна вектору $\vec{BA}$.

Следовательно, $\vec{FK} - \vec{FT} = \vec{TK}$.

Ответ: Сумма: $\vec{FP}$, где $P$ — четвертая вершина параллелограмма $FKPT$. Разность: $\vec{TK}$.

в) $\vec{KT}$ и $\vec{FT}$

Эти два вектора имеют общий конец — точку $T$.

Сумма: $\vec{KT} + \vec{FT}$.

Чтобы построить эту сумму, мы можем:

1. Перенести вектор $\vec{KT}$ так, чтобы его начало совпадало с началом вектора $\vec{FT}$, то есть с точкой $F$. Пусть это будет вектор $\vec{FL}$, такой что $\vec{FL} = \vec{KT}$ (то есть $FKT L$ образует параллелограмм, где $L$ - точка, дополняющая его).

2. Теперь векторы $\vec{FL}$ и $\vec{FT}$ имеют общее начало $F$. Применим правило параллелограмма: построим параллелограмм $FLVT$, где $V$ — четвертая вершина.

3. Тогда искомым вектором суммы будет диагональ $\vec{FV}$.

Разность: $\vec{KT} - \vec{FT}$.

Для векторов, имеющих общий конец $\vec{XT}$ и $\vec{YT}$, их разность $\vec{XT} - \vec{YT}$ равна вектору $\vec{XY}$.

Следовательно, $\vec{KT} - \vec{FT} = \vec{FK}$.

Ответ: Сумма: $\vec{FV}$, где $V$ — четвертая вершина параллелограмма, построенного на векторах $\vec{FL}$ (равном $\vec{KT}$) и $\vec{FT}$. Разность: $\vec{FK}$.