Номер 42, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уровень А

$ \vec{a} $, $ \vec{b} $, $ \vec{c} $, $ \vec{d} $

42. Изобразите векторы, как на рисунке 51. Постройте векторы, равные:

а) сумме векторов: $ \vec{a} + \vec{b} $, $ \vec{a} + \vec{c} $, $ \vec{c} + \vec{d} $;

б) разности векторов $ \vec{a} - \vec{b} $, $ \vec{a} - \vec{c} $, $ \vec{c} - \vec{d} $.

43. Покажите, что для любых векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $

Рисунок 51

Дано:

Векторы, изображенные на рисунке 51. Зададим их координаты, исходя из начала координат в левом нижнем углу видимой сетки:

$\vec{a} = (4, 0)$

$\vec{b} = (2, 2)$

$\vec{c} = (2, 0)$

$\vec{d} = (-3, 0)$

Найти:

а) Суммы векторов: $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} + \vec{c}$, $\vec{c} + \vec{d}$.

б) Разности векторов: $\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{c}$, $\vec{c} - \vec{d}$.

Решение:

а) сумме векторов

Для нахождения суммы векторов используется правило сложения векторов по координатам: если даны векторы $\vec{x} = (x_1, x_2)$ и $\vec{y} = (y_1, y_2)$, то их сумма $\vec{x} + \vec{y}$ вычисляется как $(x_1+y_1, x_2+y_2)$. Графически сумму векторов можно построить, используя правило треугольника (отложив второй вектор от конца первого) или правило параллелограмма (построив векторы из одной точки и завершив параллелограмм).

Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = (4, 0) + (2, 2) = (4+2, 0+2) = (6, 2)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{a}$ и заканчивается в точке (6, 2) на сетке, если $\vec{a}$ начинается в (0,0).

Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$:
$\vec{a} + \vec{c} = (4, 0) + (2, 0) = (4+2, 0+0) = (6, 0)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{a}$ и заканчивается в точке (6, 0) на сетке.

Сумма векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\vec{c} + \vec{d} = (2, 0) + (-3, 0) = (2-3, 0+0) = (-1, 0)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{c}$ и заканчивается в точке (-1, 0) на сетке, если $\vec{c}$ начинается в (0,0).

Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = (6, 2)$, $\vec{a} + \vec{c} = (6, 0)$, $\vec{c} + \vec{d} = (-1, 0)$.

б) разности векторов

Для нахождения разности векторов используется правило вычитания векторов по координатам: если даны векторы $\vec{x} = (x_1, x_2)$ и $\vec{y} = (y_1, y_2)$, то их разность $\vec{x} - \vec{y}$ вычисляется как $(x_1-y_1, x_2-y_2)$. Разность $\vec{x} - \vec{y}$ также можно представить как сумму $\vec{x} + (-\vec{y})$, где $-\vec{y}$ — это вектор, имеющий ту же длину, что и $\vec{y}$, но противоположное направление.

Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} - \vec{b} = (4, 0) - (2, 2) = (4-2, 0-2) = (2, -2)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{a}$ и заканчивается в точке (2, -2) на сетке.

Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$:
$\vec{a} - \vec{c} = (4, 0) - (2, 0) = (4-2, 0-0) = (2, 0)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{a}$ и заканчивается в точке (2, 0) на сетке.

Разность векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\vec{c} - \vec{d} = (2, 0) - (-3, 0) = (2-(-3), 0-0) = (2+3, 0) = (5, 0)$.
Графически этот вектор начинается в точке начала вектора $\vec{c}$ и заканчивается в точке (5, 0) на сетке.

Ответ: $\vec{a} - \vec{b} = (2, -2)$, $\vec{a} - \vec{c} = (2, 0)$, $\vec{c} - \vec{d} = (5, 0)$.