Номер 44, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

44. Даны точки A и B. Докажите, что для любых точек X и Y плоскости верно равенство $\vert\vec{XB} - \vec{XA}\vert = \vert\vec{YB} - \vec{YA}\vert$.

Дано:

Даны точки $A$ и $B$ на плоскости.

Точки $X$ и $Y$ - произвольные точки плоскости.

Найти:

Доказать, что $|\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA}| = |\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA}|$.

Решение:

Рассмотрим левую часть данного равенства: $|\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA}|$.

По правилу вычитания векторов, если векторы имеют общее начало, то их разность равна вектору, направленному от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора. Формально, для любых точек $P$, $Q$ и $O$, верно равенство $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$.

Применяя это правило к выражению $\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA}$, где $X$ является общим началом для векторов $\overrightarrow{XA}$ и $\overrightarrow{XB}$, получаем:

$\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA} = \overrightarrow{AB}$

Таким образом, левая часть равенства принимает вид: $|\overrightarrow{AB}|$. Величина $|\overrightarrow{AB}|$ представляет собой длину отрезка $AB$, которая является фиксированной величиной, определяемой только положением точек $A$ и $B$, и не зависит от выбора точки $X$.

Теперь рассмотрим правую часть данного равенства: $|\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA}|$.

Аналогично, применяя правило вычитания векторов к выражению $\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA}$, где $Y$ является общим началом для векторов $\overrightarrow{YA}$ и $\overrightarrow{YB}$, получаем:

$\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA} = \overrightarrow{AB}$

Таким образом, правая часть равенства принимает вид: $|\overrightarrow{AB}|$. Величина $|\overrightarrow{AB}|$ также представляет собой длину отрезка $AB$, которая, как уже было сказано, не зависит от выбора точки $Y$.

Поскольку левая часть равенства равна $|\overrightarrow{AB}|$ и правая часть равенства также равна $|\overrightarrow{AB}|$, то мы получаем:

$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AB}|$

Это равенство является тождественно верным. Следовательно, исходное равенство $|\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XA}| = |\overrightarrow{YB} - \overrightarrow{YA}|$ верно для любых точек $X$ и $Y$ на плоскости.

Ответ:

Доказано.