Номер 57, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

57. Докажите, что:

а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

в) $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$

Дано:

Даны произвольные векторы $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, а также произвольный скаляр $x$.

Используются стандартные определения операций над векторами: умножение вектора на скаляр $(\lambda \vec{v} = (\lambda v_x, \lambda v_y, \lambda v_z))$ и вычитание векторов $(\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z))$.

Найти:

Доказать следующие векторные тождества:

• а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

• б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

• в) $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$

Решение:

а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x, a_y, a_z)$.

Согласно определению умножения вектора на скаляр, произведение скаляра $\lambda$ на вектор $\vec{a}$ определяется как вектор $\lambda \vec{a} = (\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_z)$.

Подставим $\lambda = 1$ в это определение:

$1 \cdot \vec{a} = (1 \cdot a_x, 1 \cdot a_y, 1 \cdot a_z)$

Поскольку $1 \cdot a_x = a_x$, $1 \cdot a_y = a_y$, и $1 \cdot a_z = a_z$, получаем:

$1 \cdot \vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$

Вектор $(a_x, a_y, a_z)$ это и есть вектор $\vec{a}$.

Таким образом, $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

Ответ: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ доказано.

б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x, a_y, a_z)$.

Используя определение умножения вектора на скаляр с $\lambda = -1$:

$(-1) \cdot \vec{a} = ((-1) \cdot a_x, (-1) \cdot a_y, (-1) \cdot a_z)$

Что равно:

$(-1) \cdot \vec{a} = (-a_x, -a_y, -a_z)$

По определению вектора, противоположного вектору $\vec{a}$ (обозначаемого как $-\vec{a}$), его координаты являются противоположными координатам $\vec{a}$:

$-\vec{a} = (-a_x, -a_y, -a_z)$

Сравнивая полученные выражения, видно, что $(-1) \cdot \vec{a}$ и $-\vec{a}$ имеют одинаковые координаты.

Следовательно, $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Ответ: $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ доказано.

в) $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют координаты $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ соответственно, и $x$ — произвольный скаляр.

Рассмотрим левую часть равенства $x \cdot (\vec{a} - \vec{b})$:

Сначала найдем разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ по определению вычитания векторов:

$\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)$

Теперь умножим этот вектор на скаляр $x$ по определению умножения вектора на скаляр:

$x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) = (x(a_x - b_x), x(a_y - b_y), x(a_z - b_z))$

Используя дистрибутивное свойство умножения чисел относительно вычитания ($c(d-e) = cd - ce$), раскрываем скобки для каждой координаты:

$x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (xa_x - xb_x, xa_y - xb_y, xa_z - xb_z) \quad (*)$

Рассмотрим правую часть равенства $x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$:

Сначала найдем произведения скаляра на векторы $x \cdot \vec{a}$ и $x \cdot \vec{b}$:

$x \cdot \vec{a} = (xa_x, xa_y, xa_z)$

$x \cdot \vec{b} = (xb_x, xb_y, xb_z)$

Теперь выполним вычитание полученных векторов:

$x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b} = (xa_x, xa_y, xa_z) - (xb_x, xb_y, xb_z)$

По определению вычитания векторов:

$x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b} = (xa_x - xb_x, xa_y - xb_y, xa_z - xb_z) \quad (**)$

Сравнивая выражения $(*)$ и $(**)$, мы видим, что они тождественны, то есть их соответствующие координаты равны.

Таким образом, $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$.

Ответ: $x \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = x \cdot \vec{a} - x \cdot \vec{b}$ доказано.