Страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

70. В треугольнике ABC точки M, N и K – середины его сторон, O – произвольная точка плоскости. Докажите, что $\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точки $M, N, K$ - середины сторон треугольника $ABC$.

Точка $O$ - произвольная точка плоскости.

Найти:

Доказать, что $\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Решение:

Пусть $M$ - середина стороны $BC$, $N$ - середина стороны $AC$, $K$ - середина стороны $AB$.

Согласно формуле вектора середины отрезка, для любой точки $O$ на плоскости вектор, идущий из $O$ в середину отрезка, равен полусумме векторов, идущих из $O$ в концы отрезка.

Таким образом, мы можем выразить векторы $\vec{OM}$, $\vec{ON}$ и $\vec{OK}$ через векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$:

Для точки $M$, являющейся серединой отрезка $BC$:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$

Для точки $N$, являющейся серединой отрезка $AC$:

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Для точки $K$, являющейся серединой отрезка $AB$:

$\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Теперь сложим левую часть доказываемого равенства, подставив эти выражения:

$\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:

$\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OA} + \vec{OC} + \vec{OA} + \vec{OB})$

Сгруппируем и сложим одинаковые векторы:

$\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \frac{1}{2}(2\vec{OA} + 2\vec{OB} + 2\vec{OC})$

Разделим каждый член на 2:

$\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OK} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства равна правой части.

Ответ:

Доказано.

71. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что $AO/OB = OD/OC = 2$. Докажите, что отрезки BC и AD параллельны.

Дано:

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.

$\frac{AO}{OB} = \frac{OD}{OC} = 2$.

Найти:

Доказать, что отрезки $BC$ и $AD$ параллельны.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.

1. Из условия задачи дано, что отношения длин отрезков равны:

$\frac{AO}{OB} = 2$ и $\frac{OD}{OC} = 2$.

Отсюда следует, что $\frac{AO}{OB} = \frac{OD}{OC}$.

2. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $AB$ и $CD$ в точке $O$.

Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$.

3. Мы имеем два треугольника, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$, у которых отношение двух сторон одного треугольника равно отношению соответствующих сторон другого треугольника ($\frac{AO}{OB} = \frac{OD}{OC}$), а углы, заключенные между этими сторонами, равны ($\angle AOD = \angle BOC$).

По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS-признак подобия), треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны.

То есть, $\triangle AOD \sim \triangle BOC$.

4. Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов.

В частности, $\angle OAD = \angle OBC$ и $\angle ODA = \angle OCB$.

5. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AB$. Углы $\angle OAD$ (то есть $\angle DAB$) и $\angle OBC$ (то есть $\angle CBA$) являются накрест лежащими углами относительно этих прямых и секущей $AB$.

Поскольку мы доказали, что $\angle OAD = \angle OBC$, а эти углы являются накрест лежащими, то по признаку параллельности прямых, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

Ответ:

Доказано, что отрезки $BC$ и $AD$ параллельны.

72. На сторонах AB, BC, CD и AD четырехугольника ABCD отмечены точки K, L, M и N так, что $\frac{AK}{KB} = \frac{AN}{ND} = \frac{CL}{LB} = \frac{CM}{MD} = 3$.

Докажите, что четырехугольник KLMN – параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$. Точки $K, L, M, N$ отмечены на сторонах $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Соотношения длин отрезков: $\frac{AK}{KB} = \frac{AN}{ND} = \frac{CL}{LB} = \frac{CM}{MD} = 3$.

Найти: Доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Решение: Для доказательства того, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом, используем векторный метод. Пусть вершины четырехугольника $ABCD$ заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ соответственно.

Согласно условию, точки $K, L, M, N$ делят соответствующие стороны в заданных отношениях. Используем формулу для радиус-вектора точки, делящей отрезок в заданном отношении. Если точка $P$ делит отрезок $XY$ в отношении $XP:PY = m:n$, то ее радиус-вектор $\vec{p} = \frac{n\vec{x} + m\vec{y}}{m+n}$.

1. Точка $K$ на стороне $AB$ делит ее в отношении $AK:KB = 3:1$. Радиус-вектор точки $K$: $\vec{k} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b}}{1+3} = \frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4}$.

2. Точка $L$ на стороне $BC$ делит ее в отношении $CL:LB = 3:1$. Это означает, что $L$ делит отрезок $CB$ в отношении $1:3$ (от $C$ к $B$), или, что $L$ делит отрезок $BC$ в отношении $BL:LC = 1:3$. Радиус-вектор точки $L$: $\vec{l} = \frac{3 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c}}{3+1} = \frac{3\vec{b} + \vec{c}}{4}$.

3. Точка $M$ на стороне $CD$ делит ее в отношении $CM:MD = 3:1$. Радиус-вектор точки $M$: $\vec{m} = \frac{1 \cdot \vec{c} + 3 \cdot \vec{d}}{1+3} = \frac{\vec{c} + 3\vec{d}}{4}$.

4. Точка $N$ на стороне $AD$ делит ее в отношении $AN:ND = 3:1$. Радиус-вектор точки $N$: $\vec{n} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{d}}{1+3} = \frac{\vec{a} + 3\vec{d}}{4}$.

Для того чтобы четырехугольник $KLMN$ был параллелограммом, достаточно доказать, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это эквивалентно тому, что векторы, представляющие эти стороны, равны. Например, если $\vec{KL} = \vec{NM}$.

Найдем вектор $\vec{KL}$: $\vec{KL} = \vec{l} - \vec{k} = \left(\frac{3\vec{b} + \vec{c}}{4}\right) - \left(\frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4}\right) = \frac{3\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - 3\vec{b}}{4} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{4}$.

Найдем вектор $\vec{NM}$: $\vec{NM} = \vec{m} - \vec{n} = \left(\frac{\vec{c} + 3\vec{d}}{4}\right) - \left(\frac{\vec{a} + 3\vec{d}}{4}\right) = \frac{\vec{c} + 3\vec{d} - \vec{a} - 3\vec{d}}{4} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{4}$.

Так как $\vec{KL} = \vec{NM}$, это означает, что сторона $KL$ параллельна стороне $NM$ и их длины равны. Следовательно, четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом по определению.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Начертите три неколлинеарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Измерьте длины этих векторов. Представьте вектор $\vec{c}$ как сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, умноженных на числа $x$ и $y$: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Определите все возможные значения $x$ и $y$.

Дано:

Требуется начертить три неколлинеарных вектора $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $. Необходимо измерить их длины. Вектор $ \vec{c} $ представлен как линейная комбинация векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ с коэффициентами $x$ и $y$: $ \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} $. Известно, что векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ являются неколлинеарными.

Найти:

Значения скалярных коэффициентов $x$ и $y$.

Решение:

Данная задача является практическим заданием, которое включает в себя графические построения, измерения и аналитические вычисления.

Начертите три неколлинеарных вектора $ \vec{a}, \vec{b} $ и $ \vec{c} $.

Для выполнения этого шага необходимо использовать графические инструменты (лист бумаги, линейку, карандаш).
1. Выберите произвольную точку на плоскости, которая будет служить общим началом для всех векторов (например, точка O).
2. Из точки O начертите вектор $ \vec{a} $ с любой удобной длиной и направлением.
3. Из точки O начертите вектор $ \vec{b} $ с любой удобной длиной и направлением, но обязательно убедитесь, что его направление отличается от направления вектора $ \vec{a} $, чтобы они были неколлинеарными (не лежали на одной прямой или параллельных прямых).
4. Из точки O начертите вектор $ \vec{c} $ с любой удобной длиной и направлением. Важно, чтобы вектор $ \vec{c} $ лежал в той же плоскости, что и векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. В двумерном пространстве это условие выполняется автоматически. Чтобы задача имела смысл в контексте представления $ \vec{c} $ через $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, вектор $ \vec{c} $ не должен быть коллинеарным ни $ \vec{a} $, ни $ \vec{b} $ (если $x \neq 0$ и $y \neq 0$).

Измерьте длины этих векторов.

Используя линейку, аккуратно измерьте длину каждого из начерченных векторов. Запишите полученные значения, например, в сантиметрах или миллиметрах. Эти измерения позволят оценить или проверить результаты вычислений $x$ и $y$.

Представьте вектор $ \vec{c} $ как сумму векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, умноженных на числа $x$ и $y: \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Определите все возможные значения $x$ и $y$.

Поскольку векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ являются неколлинеарными, они образуют базис в плоскости. Это означает, что любой вектор $ \vec{c} $, лежащий в той же плоскости, может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации этих двух векторов: $ \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} $. Таким образом, для конкретных начерченных векторов $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ значения $x$ и $y$ будут уникальными.

Существуют два основных метода для определения значений $x$ и $y$: графический и аналитический.

1. Графический метод:
a. Начертите все три вектора $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ из одной общей начальной точки O.
b. Из конца вектора $ \vec{c} $ (обозначим его точкой C) проведите прямую, параллельную вектору $ \vec{b} $. Эта прямая пересечет прямую, на которой лежит вектор $ \vec{a} $ (или её продолжение), в некоторой точке P. Вектор $ \vec{OP} $ будет представлять собой $ x\vec{a} $.
c. Аналогично, из конца вектора $ \vec{c} $ (точки C) проведите прямую, параллельную вектору $ \vec{a} $. Эта прямая пересечет прямую, на которой лежит вектор $ \vec{b} $ (или её продолжение), в некоторой точке Q. Вектор $ \vec{OQ} $ будет представлять собой $ y\vec{b} $.
d. Измерьте длины векторов $ \vec{OP} $ и $ \vec{OQ} $.
e. Значение $x$ равно отношению длины $ |\vec{OP}| $ к длине $ |\vec{a}| $. Если $ \vec{OP} $ направлен так же, как $ \vec{a} $, $x$ положительно; если в противоположную сторону, $x$ отрицательно. Таким образом, $ x = \frac{|\vec{OP}|}{|\vec{a}|} $ (с учетом знака).
f. Значение $y$ равно отношению длины $ |\vec{OQ}| $ к длине $ |\vec{b}| $. Если $ \vec{OQ} $ направлен так же, как $ \vec{b} $, $y$ положительно; если в противоположную сторону, $y$ отрицательно. Таким образом, $ y = \frac{|\vec{OQ}|}{|\vec{b}|} $ (с учетом знака).
Этот метод визуально демонстрирует разложение вектора $ \vec{c} $ по базису, образованному $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

2. Аналитический метод (координатный):
a. Введем декартову систему координат, выбрав ее начало в общей точке O, откуда начерчены векторы.
b. Определите координаты концов начерченных векторов. Пусть $ \vec{a} = (a_x, a_y) $, $ \vec{b} = (b_x, b_y) $, $ \vec{c} = (c_x, c_y) $. Координаты можно измерить с чертежа, опуская перпендикуляры на оси координат.
c. Запишем векторное уравнение $ \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} $ в координатной форме:
$ (c_x, c_y) = x(a_x, a_y) + y(b_x, b_y) $
$ (c_x, c_y) = (xa_x + yb_x, xa_y + yb_y) $
Это приводит к системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$:
$ c_x = xa_x + yb_x \quad (1) $
$ c_y = xa_y + yb_y \quad (2) $
d. Решите эту систему уравнений. Поскольку векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ неколлинеарны, определитель главной матрицы системы не равен нулю $ (a_x b_y - a_y b_x \neq 0) $, что гарантирует единственное решение для $x$ и $y$.
Используя, например, правило Крамера, получаем:
$ \Delta = \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} = a_x b_y - a_y b_x $
$ \Delta_x = \begin{vmatrix} c_x & b_x \\ c_y & b_y \end{vmatrix} = c_x b_y - c_y b_x $
$ \Delta_y = \begin{vmatrix} a_x & c_x \\ a_y & c_y \end{vmatrix} = a_x c_y - a_y c_x $
Тогда значения $x$ и $y$ вычисляются по формулам:
$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{c_x b_y - c_y b_x}{a_x b_y - a_y b_x} $
$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{a_x c_y - a_y c_x}{a_x b_y - a_y b_x} $
Применяя эти формулы к измеренным координатам векторов, можно найти численные значения $x$ и $y$.

Так как в задании не предоставлены конкретные численные данные для векторов, невозможно получить конкретные числовые значения для $x$ и $y$. Эти значения будут зависеть от выбора и измерения начерченных векторов.

Ответ:

Для любых трех заданных неколлинеарных векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ и вектора $ \vec{c} $, лежащего в их плоскости, значения скалярных коэффициентов $x$ и $y$ в выражении $ \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} $ определяются единственным образом. Эти значения могут быть найдены либо графическим построением с последующим измерением длин, либо аналитически путем решения системы линейных уравнений, составленной по координатам векторов.