Страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называют разложением вектора по двум неколлинеарным векторам?

2. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

1. Что называют разложением вектора по двум неколлинеарным векторам?

Разложением вектора $\vec{c}$ по двум неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, лежащим в той же плоскости, называется представление вектора $\vec{c}$ в виде линейной комбинации этих векторов, то есть в форме $\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$, где $\lambda$ и $\mu$ — некоторые скалярные коэффициенты (действительные числа). Эти коэффициенты называются коэффициентами разложения.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам:

Любой вектор $\vec{c}$ в плоскости может быть единственным образом разложен по двум любым неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, лежащим в той же плоскости. То есть, существуют единственные действительные числа $\lambda$ и $\mu$ такие, что $\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$.

Решение

Доказательство:

Пусть даны два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, и произвольный вектор $\vec{c}$, все лежащие в одной плоскости. Приведем все три вектора к общему началу, точке $O$. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$.

1. Существование разложения:

Построим через точку $C$ прямую, параллельную вектору $\vec{OB}$ (т.е. прямой, содержащей $\vec{b}$). Пусть эта прямая пересечет прямую, содержащую вектор $\vec{OA}$ (т.е. прямую, содержащую $\vec{a}$), в точке $P$.Аналогично, построим через точку $C$ прямую, параллельную вектору $\vec{OA}$. Пусть эта прямая пересечет прямую, содержащую вектор $\vec{OB}$, в точке $Q$.По правилу параллелограмма сложения векторов, вектор $\vec{OC}$ является суммой векторов $\vec{OP}$ и $\vec{OQ}$:$\vec{OC} = \vec{OP} + \vec{OQ}$.Вектор $\vec{OP}$ коллинеарен вектору $\vec{OA}$ (т.е. $\vec{a}$), так как лежит на одной прямой с ним. Следовательно, $\vec{OP}$ может быть представлен в виде $\lambda\vec{a}$ для некоторого действительного числа $\lambda$.Вектор $\vec{OQ}$ коллинеарен вектору $\vec{OB}$ (т.е. $\vec{b}$), так как лежит на одной прямой с ним. Следовательно, $\vec{OQ}$ может быть представлен в виде $\mu\vec{b}$ для некоторого действительного числа $\mu$.Подставляя эти выражения в сумму, получаем:$\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$.Таким образом, мы доказали существование разложения вектора $\vec{c}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2. Единственность разложения:

Предположим, что вектор $\vec{c}$ может быть разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ двумя разными способами:$\vec{c} = \lambda_1\vec{a} + \mu_1\vec{b}$ (1)$\vec{c} = \lambda_2\vec{a} + \mu_2\vec{b}$ (2)Вычтем второе уравнение из первого:$(\lambda_1\vec{a} + \mu_1\vec{b}) - (\lambda_2\vec{a} + \mu_2\vec{b}) = \vec{0}$$(\lambda_1 - \lambda_2)\vec{a} + (\mu_1 - \mu_2)\vec{b} = \vec{0}$.Обозначим $k = \lambda_1 - \lambda_2$ и $m = \mu_1 - \mu_2$. Тогда уравнение примет вид:$k\vec{a} + m\vec{b} = \vec{0}$.Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, они являются линейно независимыми. Это означает, что их линейная комбинация равна нулевому вектору только в том случае, когда все коэффициенты этой комбинации равны нулю.Следовательно, $k = 0$ и $m = 0$.Отсюда получаем:$\lambda_1 - \lambda_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2$$\mu_1 - \mu_2 = 0 \Rightarrow \mu_1 = \mu_2$.Это доказывает, что коэффициенты разложения $\lambda$ и $\mu$ единственны.Таким образом, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам является единственным.

Ответ:

73. Даны три точки A, B и C такие, что $ \vec{AB} = 2\vec{BC} $, O – произвольная точка плоскости. Выразите вектор $ \vec{OB} $ через векторы $ \vec{OA} $ и $ \vec{OC} $.

Дано:

Даны три точки $A$, $B$ и $C$ такие, что $\vec{AB} = 2\vec{BC}$.

$O$ — произвольная точка плоскости.

Найти:

Выразить вектор $\vec{OB}$ через векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$.

Решение:

Используем правило разности векторов, которое гласит, что для любых точек $X$, $Y$ и произвольной точки отсчета $O$ вектор $\vec{XY}$ может быть выражен как $\vec{OY} - \vec{OX}$.

Применяем это правило к векторам $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ относительно точки $O$:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

Подставим эти выражения в данное условие $\vec{AB} = 2\vec{BC}$:

$\vec{OB} - \vec{OA} = 2(\vec{OC} - \vec{OB})$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$\vec{OB} - \vec{OA} = 2\vec{OC} - 2\vec{OB}$

Перенесем все члены, содержащие $\vec{OB}$, в левую часть уравнения, а остальные члены — в правую часть:

$\vec{OB} + 2\vec{OB} = \vec{OA} + 2\vec{OC}$

Объединим подобные члены:

$3\vec{OB} = \vec{OA} + 2\vec{OC}$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $\vec{OB}$:

$\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}$

Ответ: $\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}$

74. В параллелограмме ABCD точка N делит сторону BC в отношении 2 : 3, считая от вершины B. Разложите вектор $\vec{AN}$ по векторам:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$;

б) $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Точка $N$ делит сторону $BC$ в отношении $BN:NC = 2:3$, считая от вершины $B$.

Перевод в систему СИ: Данные являются безразмерными отношениями и геометрическими векторами, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:

Разложить вектор $\vec{AN}$ по векторам:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

б) $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$

Решение

Точка $N$ делит сторону $BC$ в отношении $BN:NC = 2:3$. Это означает, что отрезок $BN$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины отрезка $BC$. Следовательно, вектор $\vec{BN}$ равен:

$\vec{BN} = \frac{2}{5} \vec{BC}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны по длине, поэтому вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$:

$\vec{BC} = \vec{AD}$

Подставим это в выражение для $\vec{BN}$:

$\vec{BN} = \frac{2}{5} \vec{AD}$

Вектор $\vec{AN}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BN}$ (по правилу треугольника):

$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}$

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

Используем полученное выше выражение для $\vec{AN}$ и подставим в него $\vec{BN} = \frac{2}{5} \vec{AD}$:

$\vec{AN} = \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AN} = \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AD}$

б) $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$

Для разложения вектора $\vec{AN}$ по векторам $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ воспользуемся тем, что в параллелограмме $ABCD$ диагональ $\vec{AC}$ может быть выражена как сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Поскольку $\vec{BC} = \vec{AD}$, получаем:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Выразим вектор $\vec{AB}$ через $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{AD}$

Теперь подставим это выражение для $\vec{AB}$ в разложение вектора $\vec{AN}$ из пункта а):

$\vec{AN} = \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AD}$

$\vec{AN} = (\vec{AC} - \vec{AD}) + \frac{2}{5} \vec{AD}$

Раскроем скобки и сгруппируем члены с $\vec{AD}$:

$\vec{AN} = \vec{AC} - \vec{AD} + \frac{2}{5} \vec{AD}$

$\vec{AN} = \vec{AC} + \left( \frac{2}{5} - 1 \right) \vec{AD}$

$\vec{AN} = \vec{AC} + \left( \frac{2}{5} - \frac{5}{5} \right) \vec{AD}$

$\vec{AN} = \vec{AC} - \frac{3}{5} \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AN} = \vec{AC} - \frac{3}{5} \vec{AD}$

75. В параллелограмме ABCD точка M делит диагональ AC в отношении 4:5, считая от вершины A. Разложите вектор $\overrightarrow{AM}$ по векторам:
а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$;
б) $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{AD}$.

Дано

Параллелограмм $ABCD$.

Точка $M$ лежит на диагонали $AC$.

$AM : MC = 4 : 5$.

Найти:

а) Разложить вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

б) Разложить вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$.

Решение

Так как точка $M$ делит диагональ $AC$ в отношении $4:5$, считая от вершины $A$, то вектор $\vec{AM}$ можно выразить через вектор $\vec{AC}$ следующим образом:
$\vec{AM} = \frac{4}{4+5} \vec{AC} = \frac{4}{9} \vec{AC}$

а) Разложите вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$
В параллелограмме $ABCD$ вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить через векторы, исходящие из той же вершины $A$, как сумму векторов смежных сторон:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$
Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, противоположные стороны равны и параллельны, то $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Подставим это в выражение для $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$
Теперь подставим это выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{AM}$:
$\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AC} = \frac{4}{9} (\vec{AB} + \vec{AD})$
Раскроем скобки:
$\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AB} + \frac{4}{9} \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AB} + \frac{4}{9} \vec{AD}$

б) Разложите вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$
Мы уже знаем, что $\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AB} + \frac{4}{9} \vec{AD}$.
Нам нужно выразить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$.
Рассмотрим треугольник $ABD$. По правилу треугольника, $\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB}$.
Вектор $\vec{DB}$ противоположен вектору $\vec{BD}$, то есть $\vec{DB} = -\vec{BD}$.
Следовательно:
$\vec{AB} = \vec{AD} - \vec{BD}$
Теперь подставим это выражение для $\vec{AB}$ в полученное в пункте а) разложение для $\vec{AM}$:
$\vec{AM} = \frac{4}{9} (\vec{AD} - \vec{BD}) + \frac{4}{9} \vec{AD}$
Раскроем скобки:
$\vec{AM} = \frac{4}{9} \vec{AD} - \frac{4}{9} \vec{BD} + \frac{4}{9} \vec{AD}$
Сложим подобные члены:
$\vec{AM} = (\frac{4}{9} + \frac{4}{9}) \vec{AD} - \frac{4}{9} \vec{BD}$
$\vec{AM} = \frac{8}{9} \vec{AD} - \frac{4}{9} \vec{BD}$

Ответ: $\vec{AM} = -\frac{4}{9} \vec{BD} + \frac{8}{9} \vec{AD}$

76. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, M – середина стороны AB. Выразите через векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ вектор:
а) $\vec{MO}$;
б) $\vec{CM}$.

Дано

Параллелограмм $ABCD$. Диагонали пересекаются в точке $O$. $M$ - середина стороны $AB$.

Найти

Выразить через векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ векторы:

а) $\vec{MO}$

б) $\vec{CM}$

Решение

а) $\vec{MO}$

Вектор $\vec{OM}$ является вектором, идущим из начала координат $O$ в середину отрезка $AB$. По формуле для вектора, идущего в середину отрезка, имеем:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Поскольку $\vec{MO} = -\vec{OM}$, получаем:

$\vec{MO} = -\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

$\vec{MO} = -\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB}$

Ответ: $\vec{MO} = -\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB}$

б) $\vec{CM}$

Вектор $\vec{CM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{CO} + \vec{OM}$.

Так как $O$ является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, она делит диагонали пополам. Следовательно, $O$ - середина отрезка $AC$.

Это означает, что $\vec{OC} = -\vec{OA}$.

Тогда $\vec{CO} = -\vec{OC} = -(-\vec{OA}) = \vec{OA}$.

Для вектора $\vec{OM}$ мы уже определили в пункте а):

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Теперь подставим выражения для $\vec{CO}$ и $\vec{OM}$ в формулу для $\vec{CM}$:

$\vec{CM} = \vec{CO} + \vec{OM}$

$\vec{CM} = \vec{OA} + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

$\vec{CM} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{CM} = \left(1 + \frac{1}{2}\right)\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{CM} = \frac{3}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

Ответ: $\vec{CM} = \frac{3}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$