Страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

94. Разложите векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} $, изображенные на рисунке 70, по координатным векторам $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $ и запишите их координаты.

Координаты векторов:

Вектор $ \vec{a} $: $ \vec{a} = (4, -2) = 4\vec{i} - 2\vec{j} $

Вектор $ \vec{b} $: $ \vec{b} = (-3, 4) = -3\vec{i} + 4\vec{j} $

Вектор $ \vec{c} $: $ \vec{c} = (3, -4) = 3\vec{i} - 4\vec{j} $

Вектор $ \vec{d} $: $ \vec{d} = (-4, -1) = -4\vec{i} - \vec{j} $

Рисунок 70

Дано:

На рисунке 70 изображены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ в прямоугольной декартовой системе координат с единичными векторами $\vec{i}$ по оси Ox и $\vec{j}$ по оси Oy.

Найти:

Разложить векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ и записать их координаты.

Решение:

Для разложения вектора по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ и определения его координат необходимо найти начальную и конечную точки вектора. Если вектор начинается в точке $A(x_1, y_1)$ и заканчивается в точке $B(x_2, y_2)$, то его координаты $(x, y)$ определяются как $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$. Разложение вектора будет иметь вид $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

Вектор $\vec{a}$

Начало вектора $\vec{a}$ находится в точке $O(0,0)$. Конец вектора $\vec{a}$ находится в точке $(3, -2)$.

Координаты вектора $\vec{a}$: $(3 - 0, -2 - 0) = (3, -2)$.

Разложение вектора $\vec{a}$: $\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$.

Ответ: Координаты: $(3, -2)$, разложение: $\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$.

Вектор $\vec{b}$

Начало вектора $\vec{b}$ находится в точке $(-2, 1)$. Конец вектора $\vec{b}$ находится в точке $(-4, 5)$.

Координаты вектора $\vec{b}$: $(-4 - (-2), 5 - 1) = (-2, 4)$.

Разложение вектора $\vec{b}$: $\vec{b} = -2\vec{i} + 4\vec{j}$.

Ответ: Координаты: $(-2, 4)$, разложение: $\vec{b} = -2\vec{i} + 4\vec{j}$.

Вектор $\vec{c}$

Начало вектора $\vec{c}$ находится в точке $(0, 4)$. Конец вектора $\vec{c}$ находится в точке $(3, 1)$.

Координаты вектора $\vec{c}$: $(3 - 0, 1 - 4) = (3, -3)$.

Разложение вектора $\vec{c}$: $\vec{c} = 3\vec{i} - 3\vec{j}$.

Ответ: Координаты: $(3, -3)$, разложение: $\vec{c} = 3\vec{i} - 3\vec{j}$.

Вектор $\vec{d}$

Начало вектора $\vec{d}$ находится в точке $(-1, 0)$. Конец вектора $\vec{d}$ находится в точке $(-4, -1)$.

Координаты вектора $\vec{d}$: $(-4 - (-1), -1 - 0) = (-3, -1)$.

Разложение вектора $\vec{d}$: $\vec{d} = -3\vec{i} - \vec{j}$.

Ответ: Координаты: $(-3, -1)$, разложение: $\vec{d} = -3\vec{i} - \vec{j}$.

95. Даны векторы $ \vec{a}(3; 2) $ и $ \vec{b}(0; 1). $

Найдите координаты и длину вектора:

а) $ \vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b} $

б) $ \vec{d} = -\vec{a} + 4\vec{b}. $

Дано:

Векторы $\vec{a}(3; 2)$ и $\vec{b}(0; 1)$.

Найти:

Координаты и длину вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

Решение:

a) $\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$

Для нахождения координат вектора $\vec{c}$ выполним операции скалярного умножения и вычитания векторов.

Сначала найдем координаты векторов $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$ путем умножения каждой координаты на соответствующий скаляр:

$2\vec{a} = 2(3; 2) = (2 \cdot 3; 2 \cdot 2) = (6; 4)$

$3\vec{b} = 3(0; 1) = (3 \cdot 0; 3 \cdot 1) = (0; 3)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{c}$ как разность полученных векторов, вычитая соответствующие координаты:

$\vec{c} = (6 - 0; 4 - 3) = (6; 1)$

Длина (модуль) вектора $|\vec{v}(x; y)|$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Используем эту формулу для нахождения длины вектора $\vec{c}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$

Ответ: Координаты $\vec{c}(6; 1)$, длина $|\vec{c}| = \sqrt{37}$.

б) $\vec{d} = -\vec{a} + 4\vec{b}$

Для нахождения координат вектора $\vec{d}$ выполним операции скалярного умножения и сложения векторов.

Сначала найдем координаты векторов $-\vec{a}$ и $4\vec{b}$ путем умножения каждой координаты на соответствующий скаляр:

$-\vec{a} = -1(3; 2) = (-1 \cdot 3; -1 \cdot 2) = (-3; -2)$

$4\vec{b} = 4(0; 1) = (4 \cdot 0; 4 \cdot 1) = (0; 4)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{d}$ как сумму полученных векторов, складывая соответствующие координаты:

$\vec{d} = (-3 + 0; -2 + 4) = (-3; 2)$

Длина (модуль) вектора $|\vec{v}(x; y)|$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Используем эту формулу для нахождения длины вектора $\vec{d}$:

$|\vec{d}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Ответ: Координаты $\vec{d}(-3; 2)$, длина $|\vec{d}| = \sqrt{13}$.

Рисунок 70

96. Даны точки $A(-1; 4)$, $B(1; -2)$, $C(0; -4)$ и $D(2; 2)$. Найдите координаты вектора:

а) $\vec{m} = 2\vec{CD} - \vec{BC}$;

б) $\vec{n} = 0.5\vec{AB} + 2\vec{DC}$.

Дано

Точки: $A(-1; 4)$, $B(1; -2)$, $C(0; -4)$, $D(2; 2)$.

Найти:

Координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Решение

a) $\vec{m} = 2\vec{CD} - \vec{BC}$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{CD}$. Координаты вектора, идущего из точки $X(x_1; y_1)$ в точку $Y(x_2; y_2)$, определяются как $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Для вектора $\vec{CD}$ с точками $C(0; -4)$ и $D(2; 2)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (2 - 0; 2 - (-4)) = (2; 6)$.

Теперь найдем вектор $2\vec{CD}$, умножив каждую координату на 2:

$2\vec{CD} = 2 \cdot (2; 6) = (2 \cdot 2; 2 \cdot 6) = (4; 12)$.

Затем найдем координаты вектора $\vec{BC}$. Для точек $B(1; -2)$ и $C(0; -4)$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (0 - 1; -4 - (-2)) = (-1; -2)$.

Наконец, вычислим координаты вектора $\vec{m} = 2\vec{CD} - \vec{BC}$, вычитая соответствующие координаты:

$\vec{m} = (4; 12) - (-1; -2) = (4 - (-1); 12 - (-2)) = (4 + 1; 12 + 2) = (5; 14)$.

Ответ: $\vec{m} = (5; 14)$

б) $\vec{n} = 0.5\vec{AB} + 2\vec{DC}$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Для точек $A(-1; 4)$ и $B(1; -2)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - (-1); -2 - 4) = (2; -6)$.

Теперь найдем вектор $0.5\vec{AB}$, умножив каждую координату на 0.5:

$0.5\vec{AB} = 0.5 \cdot (2; -6) = (0.5 \cdot 2; 0.5 \cdot (-6)) = (1; -3)$.

Затем найдем координаты вектора $\vec{DC}$. Для точек $D(2; 2)$ и $C(0; -4)$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (0 - 2; -4 - 2) = (-2; -6)$.

Теперь найдем вектор $2\vec{DC}$, умножив каждую координату на 2:

$2\vec{DC} = 2 \cdot (-2; -6) = (2 \cdot (-2); 2 \cdot (-6)) = (-4; -12)$.

Наконец, вычислим координаты вектора $\vec{n} = 0.5\vec{AB} + 2\vec{DC}$, складывая соответствующие координаты:

$\vec{n} = (1; -3) + (-4; -12) = (1 + (-4); -3 + (-12)) = (1 - 4; -3 - 12) = (-3; -15)$.

Ответ: $\vec{n} = (-3; -15)$

97. Даны точки: A(2; 4), B(1; 3), C(1,75; 1,25), D(3; 0). Найдите координаты точек M и K, если $ \overrightarrow{DK} = 4\overrightarrow{DC} $, $ \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} $.

Дано:

Точки: $A(2; 4)$, $B(1; 3)$, $C(1.75; 1.25)$, $D(3; 0)$.

Векторные равенства: $\vec{DK} = 4\vec{DC}$, $\vec{AM} = 3\vec{AB}$.

Найти:

Координаты точек $M$ и $K$.

Решение:

Координаты точки K

Для нахождения координат точки $K(x_K; y_K)$ используем равенство $\vec{DK} = 4\vec{DC}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{DC}$. Координаты вектора, заданного двумя точками $P(x_P; y_P)$ и $Q(x_Q; y_Q)$, находятся как $(x_Q - x_P; y_Q - y_P)$.

Координаты точки $D(3; 0)$ и $C(1.75; 1.25)$.

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (1.75 - 3; 1.25 - 0) = (-1.25; 1.25)$.

Теперь умножим вектор $\vec{DC}$ на скаляр $4$:

$4\vec{DC} = (4 \cdot (-1.25); 4 \cdot 1.25) = (-5; 5)$.

Далее, выразим координаты вектора $\vec{DK}$ через координаты точек $D(3; 0)$ и $K(x_K; y_K)$:

$\vec{DK} = (x_K - x_D; y_K - y_D) = (x_K - 3; y_K - 0) = (x_K - 3; y_K)$.

Поскольку $\vec{DK} = 4\vec{DC}$, приравняем соответствующие координаты:

$(x_K - 3; y_K) = (-5; 5)$.

Получаем систему уравнений:

$x_K - 3 = -5 \Rightarrow x_K = -5 + 3 = -2$.

$y_K = 5$.

Ответ: Координаты точки $K(-2; 5)$.

Координаты точки M

Для нахождения координат точки $M(x_M; y_M)$ используем равенство $\vec{AM} = 3\vec{AB}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$.

Координаты точки $A(2; 4)$ и $B(1; 3)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - 2; 3 - 4) = (-1; -1)$.

Теперь умножим вектор $\vec{AB}$ на скаляр $3$:

$3\vec{AB} = (3 \cdot (-1); 3 \cdot (-1)) = (-3; -3)$.

Далее, выразим координаты вектора $\vec{AM}$ через координаты точек $A(2; 4)$ и $M(x_M; y_M)$:

$\vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A) = (x_M - 2; y_M - 4)$.

Поскольку $\vec{AM} = 3\vec{AB}$, приравняем соответствующие координаты:

$(x_M - 2; y_M - 4) = (-3; -3)$.

Получаем систему уравнений:

$x_M - 2 = -3 \Rightarrow x_M = -3 + 2 = -1$.

$y_M - 4 = -3 \Rightarrow y_M = -3 + 4 = 1$.

Ответ: Координаты точки $M(-1; 1)$.

98. Постройте в координатной плоскости векторы $\vec{a}(0; 3)$, $\vec{b}(-2; -3)$, $\vec{c}(-3; -0,5)$ и их проекции на оси, если начало каждого вектора – точка $M(2; 1)$.

Дано:

Векторы заданы своими компонентами: $\vec{a}(0; 3)$, $\vec{b}(-2; -3)$, $\vec{c}(-3; -0.5)$.

Начало каждого вектора — точка $M(2; 1)$.

Найти:

Построить векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ в координатной плоскости, а также их проекции на оси.

Решение:

Определение конечных точек векторов:

Пусть начало вектора — точка $M(x_M; y_M)$, а компоненты вектора — $(v_x; v_y)$. Тогда конечная точка $N(x_N; y_N)$ определяется по формулам: $x_N = x_M + v_x$ и $y_N = y_M + v_y$.

Для данной задачи $M(2; 1)$.

Для вектора $\vec{a}(0; 3)$:

Конечная точка $A(x_A; y_A)$:

$x_A = 2 + 0 = 2$

$y_A = 1 + 3 = 4$

Таким образом, вектор $\vec{a}$ начинается в $M(2; 1)$ и заканчивается в $A(2; 4)$.

Для вектора $\vec{b}(-2; -3)$:

Конечная точка $B(x_B; y_B)$:

$x_B = 2 + (-2) = 0$

$y_B = 1 + (-3) = -2$

Таким образом, вектор $\vec{b}$ начинается в $M(2; 1)$ и заканчивается в $B(0; -2)$.

Для вектора $\vec{c}(-3; -0.5)$:

Конечная точка $C(x_C; y_C)$:

$x_C = 2 + (-3) = -1$

$y_C = 1 + (-0.5) = 0.5$

Таким образом, вектор $\vec{c}$ начинается в $M(2; 1)$ и заканчивается в $C(-1; 0.5)$.

Построение векторов:

1. Начертите декартову систему координат с осями x и y, отметьте начало координат $O(0;0)$. Выберите подходящий масштаб.

2. Отметьте точку $M(2; 1)$. Эта точка является общим началом для всех трех векторов.

3. Для вектора $\vec{a}$: Отметьте конечную точку $A(2; 4)$. Проведите направленный отрезок (вектор) от точки $M(2; 1)$ к точке $A(2; 4)$.

4. Для вектора $\vec{b}$: Отметьте конечную точку $B(0; -2)$. Проведите направленный отрезок (вектор) от точки $M(2; 1)$ к точке $B(0; -2)$.

5. Для вектора $\vec{c}$: Отметьте конечную точку $C(-1; 0.5)$. Проведите направленный отрезок (вектор) от точки $M(2; 1)$ к точке $C(-1; 0.5)$.

Построение проекций на оси:

Для каждого вектора $\vec{MN}$, где $M(x_M; y_M)$ и $N(x_N; y_N)$:

Проекция на ось x: Опустите перпендикуляры из точек $M$ и $N$ на ось x. Точки пересечения будут $M_x(x_M; 0)$ и $N_x(x_N; 0)$. Проекция вектора на ось x — это направленный отрезок от $M_x$ к $N_x$. Длина этого отрезка (со знаком) равна $v_x$.

Проекция на ось y: Опустите перпендикуляры из точек $M$ и $N$ на ось y. Точки пересечения будут $M_y(0; y_M)$ и $N_y(0; y_N)$. Проекция вектора на ось y — это направленный отрезок от $M_y$ к $N_y$. Длина этого отрезка (со знаком) равна $v_y$.

1. Для вектора $\vec{a}$ (из $M(2; 1)$ в $A(2; 4)$):

Проекция на ось x: Точки проекции на ось x — $M_x(2; 0)$ и $A_x(2; 0)$. Проекция представляет собой точку $(2; 0)$, поскольку $x_M = x_A = 2$. Скалярная проекция: $0$.

Проекция на ось y: Точки проекции на ось y — $M_y(0; 1)$ и $A_y(0; 4)$. Проведите направленный отрезок от $(0; 1)$ к $(0; 4)$. Скалярная проекция: $3$.

2. Для вектора $\vec{b}$ (из $M(2; 1)$ в $B(0; -2)$):

Проекция на ось x: Точки проекции на ось x — $M_x(2; 0)$ и $B_x(0; 0)$. Проведите направленный отрезок от $(2; 0)$ к $(0; 0)$. Скалярная проекция: $-2$.

Проекция на ось y: Точки проекции на ось y — $M_y(0; 1)$ и $B_y(0; -2)$. Проведите направленный отрезок от $(0; 1)$ к $(0; -2)$. Скалярная проекция: $-3$.

3. Для вектора $\vec{c}$ (из $M(2; 1)$ в $C(-1; 0.5)$):

Проекция на ось x: Точки проекции на ось x — $M_x(2; 0)$ и $C_x(-1; 0)$. Проведите направленный отрезок от $(2; 0)$ к $(-1; 0)$. Скалярная проекция: $-3$.

Проекция на ось y: Точки проекции на ось y — $M_y(0; 1)$ и $C_y(0; 0.5)$. Проведите направленный отрезок от $(0; 1)$ к $(0; 0.5)$. Скалярная проекция: $-0.5$.

Ответ:

Векторы и их проекции построены следующим образом:

Вектор $\vec{a}$ начинается в $M(2; 1)$, заканчивается в $A(2; 4)$. Проекция на ось x — точка $(2; 0)$, на ось y — отрезок от $(0; 1)$ до $(0; 4)$.

Вектор $\vec{b}$ начинается в $M(2; 1)$, заканчивается в $B(0; -2)$. Проекция на ось x — отрезок от $(2; 0)$ до $(0; 0)$, на ось y — отрезок от $(0; 1)$ до $(0; -2)$.

Вектор $\vec{c}$ начинается в $M(2; 1)$, заканчивается в $C(-1; 0.5)$. Проекция на ось x — отрезок от $(2; 0)$ до $(-1; 0)$, на ось y — отрезок от $(0; 1)$ до $(0; 0.5)$.

99. Найдите коэффициенты x и y разложения вектора $ \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} $ и постройте вектор $ \vec{c} $, если:

a) $ \vec{a}(3; 6) $, $ \vec{b}(2; -2) $, $ \vec{c}(7; 2); $

б) $ \vec{a}(2; 0) $, $ \vec{b}(-1; 3) $, $ \vec{c}(2; 6). $

a)

Дано:

Векторы $\vec{a}(3; 6)$, $\vec{b}(2; -2)$, $\vec{c}(7; 2)$.

Выражение для вектора $\vec{c}$: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Найти:

Коэффициенты $x$ и $y$, и описание построения вектора $\vec{c}$.

Решение:

Разложим векторное уравнение $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ на компоненты.

Если $\vec{a} = (a_x; a_y)$, $\vec{b} = (b_x; b_y)$ и $\vec{c} = (c_x; c_y)$, то уравнение примет вид:

$(c_x; c_y) = x(a_x; a_y) + y(b_x; b_y)$

$(c_x; c_y) = (xa_x + yb_x; xa_y + yb_y)$

Это приводит к системе линейных уравнений для координат:

$c_x = xa_x + yb_x$

$c_y = xa_y + yb_y$

Подставим известные координаты векторов:

$7 = 3x + 2y$ (1)

$2 = 6x - 2y$ (2)

Решим систему уравнений методом сложения. Сложим уравнение (1) и (2):

$(7 + 2) = (3x + 6x) + (2y - 2y)$

$9 = 9x$

$x = 1$

Теперь подставим значение $x = 1$ в уравнение (1):

$7 = 3(1) + 2y$

$7 = 3 + 2y$

$4 = 2y$

$y = 2$

Таким образом, коэффициенты разложения $x=1$ и $y=2$.

Для построения вектора $\vec{c}$ графически, используя коэффициенты $x=1$ и $y=2$, и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1. Отложите вектор $x\vec{a} = 1\vec{a} = \vec{a}$ от начала координат (или любой удобной точки).
2. От конца вектора $x\vec{a}$ отложите вектор $y\vec{b} = 2\vec{b}$. Это означает, что нужно нарисовать вектор $\vec{b}$ в два раза длиннее и в том же направлении, затем переместить его так, чтобы его начало совпадало с концом $x\vec{a}$.
3. Вектор $\vec{c}$ будет вектором, проведенным от начала $x\vec{a}$ (начала координат) до конца $y\vec{b}$.

Ответ: $x=1, y=2$. Вектор $\vec{c}$ строится как сумма векторов $\vec{a}$ и $2\vec{b}$ по правилу треугольника или параллелограмма.

б)

Дано:

Векторы $\vec{a}(2; 0)$, $\vec{b}(-1; 3)$, $\vec{c}(2; 6)$.

Выражение для вектора $\vec{c}$: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Найти:

Коэффициенты $x$ и $y$, и описание построения вектора $\vec{c}$.

Решение:

Разложим векторное уравнение $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ на компоненты.

$(c_x; c_y) = (xa_x + yb_x; xa_y + yb_y)$

Подставим известные координаты векторов:

$2 = 2x - y$ (1)

$6 = 0x + 3y$ (2)

Из уравнения (2) напрямую найдем $y$:

$6 = 3y$

$y = 2$

Теперь подставим значение $y = 2$ в уравнение (1):

$2 = 2x - 2$

$4 = 2x$

$x = 2$

Таким образом, коэффициенты разложения $x=2$ и $y=2$.

Для построения вектора $\vec{c}$ графически, используя коэффициенты $x=2$ и $y=2$, и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1. Отложите вектор $x\vec{a} = 2\vec{a}$ от начала координат (или любой удобной точки). Это вектор, направленный так же, как $\vec{a}$, но в два раза длиннее.
2. От конца вектора $2\vec{a}$ отложите вектор $y\vec{b} = 2\vec{b}$. Это вектор, направленный так же, как $\vec{b}$, но в два раза длиннее. Его начало должно совпадать с концом $2\vec{a}$.
3. Вектор $\vec{c}$ будет вектором, проведенным от начала $2\vec{a}$ (начала координат) до конца $2\vec{b}$.

Ответ: $x=2, y=2$. Вектор $\vec{c}$ строится как сумма векторов $2\vec{a}$ и $2\vec{b}$ по правилу треугольника или параллелограмма.

100. Даны векторы $\overrightarrow{OA} = 2\vec{i}, \overrightarrow{OB} = 3\vec{j}$. Докажите, что длины векторов $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OK} = \frac{3|\vec{j}|}{2|\vec{i}|}\overrightarrow{OA} + \frac{2|\vec{i}|}{3|\vec{j}|}\overrightarrow{OB}$ равны.

Дано

Векторы $ \vec{OA} = 2\vec{i} $ и $ \vec{OB} = 3\vec{j} $.
Вектор $ \vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} $.
Вектор $ \vec{OK} = \frac{3}{2}\frac{|\vec{j}|}{|\vec{i}|}\vec{OA} + \frac{2}{3}\frac{|\vec{i}|}{|\vec{j}|}\vec{OB} $.

Перевод в СИ

Единичные векторы $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $ в декартовой системе координат имеют длину 1.
То есть, $ |\vec{i}| = 1 $ и $ |\vec{j}| = 1 $.
Векторы можно представить в координатной форме: $ \vec{OA} = (2, 0) $, $ \vec{OB} = (0, 3) $.

Найти

Доказать, что длины векторов $ \vec{OM} $ и $ \vec{OK} $ равны.

Решение

Сначала найдем вектор $ \vec{OM} $ и вычислим его длину.
По определению: $ \vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} $
Подставим выражения для $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $: $ \vec{OM} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $
Длина вектора $ \vec{OM} $ вычисляется по формуле $ |\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} $: $ |\vec{OM}| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $

Затем найдем вектор $ \vec{OK} $ и вычислим его длину.
По определению: $ \vec{OK} = \frac{3}{2}\frac{|\vec{j}|}{|\vec{i}|}\vec{OA} + \frac{2}{3}\frac{|\vec{i}|}{|\vec{j}|}\vec{OB} $
Так как $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $ являются единичными векторами, их длины равны 1 ($ |\vec{i}| = 1 $, $ |\vec{j}| = 1 $).
Подставим эти значения в выражение для $ \vec{OK} $: $ \vec{OK} = \frac{3}{2}\frac{1}{1}\vec{OA} + \frac{2}{3}\frac{1}{1}\vec{OB} $ $ \vec{OK} = \frac{3}{2}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB} $
Теперь подставим выражения для $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $: $ \vec{OK} = \frac{3}{2}(2\vec{i}) + \frac{2}{3}(3\vec{j}) $
$ \vec{OK} = 3\vec{i} + 2\vec{j} $
Длина вектора $ \vec{OK} $ вычисляется по формуле $ |\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} $: $ |\vec{OK}| = \sqrt{(3)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $

Сравнивая полученные длины векторов, мы видим, что $ |\vec{OM}| = \sqrt{13} $ и $ |\vec{OK}| = \sqrt{13} $.
Следовательно, $ |\vec{OM}| = |\vec{OK}| $.
Что и требовалось доказать.

Ответ:

Длины векторов $ \vec{OM} $ и $ \vec{OK} $ равны $ \sqrt{13} $.

101. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$, если:

а) $A(2; 3)$, $B(0; -4)$, $C(4; 4)$;

б) $A(-1; -1)$, $B(6; 8)$, $C(4; 2)$.

а)

Дано:

Вершины треугольника: $A(2; 3)$, $B(0; -4)$, $C(4; 4)$.

Найти:

Координаты точки пересечения медиан $M(x_M, y_M)$.

Решение:

Координаты точки пересечения медиан (центроида) треугольника вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

Подставляем значения координат вершин для данного случая:

$x_M = \frac{2 + 0 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y_M = \frac{3 + (-4) + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Ответ: $M(2; 1)$

б)

Дано:

Вершины треугольника: $A(-1; -1)$, $B(6; 8)$, $C(4; 2)$.

Найти:

Координаты точки пересечения медиан $M(x_M, y_M)$.

Решение:

Координаты точки пересечения медиан (центроида) треугольника вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

Подставляем значения координат вершин для данного случая:

$x_M = \frac{-1 + 6 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$y_M = \frac{-1 + 8 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: $M(3; 3)$

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

В декартовой системе координат постройте вектор $\vec{a} (4; 3)$, начало которого совпадает с началом координат. Используя тригонометрические функции, найдите приближенно угол между этим вектором и осью $Ox$. Аналогично найдите угол между вектором $\vec{b} (-5; 2)$ и осью $Ox$. Имея эти данные, вычислите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Дано:

Координаты вектора $ \vec{a} = (4; 3) $.

Координаты вектора $ \vec{b} = (-5; 2) $.

Начало векторов совпадает с началом координат $ (0; 0) $.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных координатах и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Построить вектор $ \vec{a} $.

Угол $ \alpha $ между вектором $ \vec{a} $ и осью $ Ox $.

Угол $ \beta $ между вектором $ \vec{b} $ и осью $ Ox $.

Угол $ \phi $ между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Решение

Построение вектора $\vec{a}(4; 3)$

Для построения вектора $ \vec{a}(4; 3) $ в декартовой системе координат необходимо:
1. Отметить начало вектора в точке начала координат $ (0; 0) $.
2. Найти точку с координатами $ (4; 3) $, отложив 4 единицы по оси $ Ox $ и 3 единицы по оси $ Oy $.
3. Провести направленный отрезок (стрелку) от точки $ (0; 0) $ до точки $ (4; 3) $. Конец отрезка будет представлять собой конец вектора.

Ответ: Вектор $ \vec{a}(4; 3) $ построен как направленный отрезок из начала координат $ (0;0) $ в точку $ (4;3) $.

Угол между вектором $\vec{a}$ и осью $Ox$

Пусть угол между вектором $ \vec{a} = (4; 3) $ и положительным направлением оси $ Ox $ равен $ \alpha $.
Тангенс этого угла определяется как отношение $y$-координаты к $x$-координате вектора:
$ \tan(\alpha) = \frac{a_y}{a_x} $
$ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} = 0.75 $
Поскольку обе координаты $ a_x = 4 $ и $ a_y = 3 $ положительны, вектор находится в I четверти, и угол $ \alpha $ является острым.
$ \alpha = \arctan(0.75) $
Используя калькулятор, находим приближенное значение:
$ \alpha \approx 36.87^\circ $

Ответ: Угол между вектором $ \vec{a} $ и осью $ Ox $ приблизительно равен $ 36.87^\circ $.

Угол между вектором $\vec{b}$ и осью $Ox$

Пусть угол между вектором $ \vec{b} = (-5; 2) $ и положительным направлением оси $ Ox $ равен $ \beta $.
Определим опорный угол $ \theta $ (острый угол, который вектор образует с осью $ Ox $):
$ \tan(\theta) = \frac{|b_y|}{|b_x|} = \frac{2}{|-5|} = \frac{2}{5} = 0.4 $
Используя калькулятор:
$ \theta = \arctan(0.4) \approx 21.80^\circ $
Поскольку $x$-координата $ b_x = -5 $ отрицательна, а $y$-координата $ b_y = 2 $ положительна, вектор $ \vec{b} $ находится во II четверти. Угол $ \beta $ отсчитывается от положительной части оси $ Ox $ против часовой стрелки.
Следовательно, $ \beta = 180^\circ - \theta $
$ \beta \approx 180^\circ - 21.80^\circ = 158.20^\circ $

Ответ: Угол между вектором $ \vec{b} $ и осью $ Ox $ приблизительно равен $ 158.20^\circ $.

Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Пусть угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ \phi $.
Мы уже вычислили углы, которые векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ образуют с положительным направлением оси $ Ox $:
$ \alpha \approx 36.87^\circ $
$ \beta \approx 158.20^\circ $
Поскольку оба угла отсчитываются от одной и той же оси в одном направлении (против часовой стрелки), угол между векторами равен абсолютной разности этих углов:
$ \phi = |\beta - \alpha| $
$ \phi \approx |158.20^\circ - 36.87^\circ| = 121.33^\circ $

Альтернативный способ (через скалярное произведение):
Формула для косинуса угла между двумя векторами:
$ \cos(\phi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $
Сначала найдем скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $:
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = (4)(-5) + (3)(2) = -20 + 6 = -14 $
Затем вычислим длины (модули) векторов:
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $
$ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} $
Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
$ \cos(\phi) = \frac{-14}{5 \sqrt{29}} $
$ \cos(\phi) \approx \frac{-14}{5 \times 5.38516} \approx \frac{-14}{26.9258} \approx -0.51995 $
Используя арккосинус, находим приближенное значение угла:
$ \phi = \arccos\left(\frac{-14}{5 \sqrt{29}}\right) $
$ \phi \approx 121.33^\circ $

Ответ: Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ приблизительно равен $ 121.33^\circ $.